[xhant]

No voy a dar una respuesta.

Pero voy a decir que se parece a la
desigualdad de Jensen.

[Héctor Manuel]

Bueno, me parece que este es el único problema mensual que falta por resolverse.  He aquí mi solución (aunque tal vez muy tarde por la antigüedad del post).

Spoiler

Sea \( m\in{\left\{{1,...,n}\right\}} \).  Si \( a_m+b_m=0 \) entonces \( a_m=b_m=0 \) y ya terminamos (pues ambos lados de la desigualdad son 0).  Supongamos entonces que \( a_m+b_m\neq{0} \) para cualquier \( m\in{\left\{{1,...,n}\right\}} \).

Nuevamente, dejando \( m \) fijo, sea \( t>0 \) y \( f_m(a_m,b_m)=\sqrt[n]{a_1...a_m...a_n}+\sqrt[n]{b_1...b_m...b_n}-\sqrt[n]{(a_1+b_1)...(a_m+b_m)...(a_n+b_n)} \).  Entonces \( f_m(ta_m,tb_m)=t^{1/n}f_m(a_m,b_m) \), de donde \( f_m \) es una función homogénea en sus variables, y por tanto puede ser normalizada.  Esto significa que podemos suponer \( a_m+b_m=1 \) y como \( m \) es arbitraria, entonces \( a_m+b_m=1 \) para cualquier \( m\in{\left\{{1,...,n}\right\}} \).  Luego, la desigualdad buscada es equivalente a demostrar que \( \sqrt[n]{a_1...a_n}+\sqrt[n ]{b_1...b_n}\leq{1} \).

Pero por la desigualdad entre la media geométrica y aritmética se tiene que \( \sqrt[n]{a_1...a_n}+\sqrt[ ]{b_1...b_n}\leq{\displaystyle\frac{a_1+...+a_n}{n}+\displaystyle\frac{b_1+...+b_n}{n}}=\displaystyle\frac{n}{n}=1 \) y queda demostrado.

Una sencilla inspección nos dice además que la igualdad se da si y solo si todas las \( a_i \) son iguales entre si y todas las \( b_i \) también, o existe \( m\in{\left\{{1,...,n}\right\}} \) tal que \( a_m=0 \) ó \( b_m=0 \).

[cerrar]

Saludos