[xhant]

No voy a dar una respuesta.

Pero voy a decir que se parece a la
desigualdad de Jensen.

[Héctor Manuel]

Bueno, me parece que este es el único problema mensual que falta por resolverse.  He aquí mi solución (aunque tal vez muy tarde por la antigüedad del post).

Spoiler

Sea \[ m\in{\left\{{1,...,n}\right\}} \].  Si \[ a_m+b_m=0 \] entonces \[ a_m=b_m=0 \] y ya terminamos (pues ambos lados de la desigualdad son 0).  Supongamos entonces que \[ a_m+b_m\neq{0} \] para cualquier \[ m\in{\left\{{1,...,n}\right\}} \].

Nuevamente, dejando \[ m \] fijo, sea \[ t>0 \] y \[ f_m(a_m,b_m)=\sqrt[n]{a_1...a_m...a_n}+\sqrt[n]{b_1...b_m...b_n}-\sqrt[n]{(a_1+b_1)...(a_m+b_m)...(a_n+b_n)} \].  Entonces \[ f_m(ta_m,tb_m)=t^{1/n}f_m(a_m,b_m) \], de donde \[ f_m \] es una función homogénea en sus variables, y por tanto puede ser normalizada.  Esto significa que podemos suponer \[ a_m+b_m=1 \] y como \[ m \] es arbitraria, entonces \[ a_m+b_m=1 \] para cualquier \[ m\in{\left\{{1,...,n}\right\}} \].  Luego, la desigualdad buscada es equivalente a demostrar que \[ \sqrt[n]{a_1...a_n}+\sqrt[n ]{b_1...b_n}\leq{1} \].

Pero por la desigualdad entre la media geométrica y aritmética se tiene que \[ \sqrt[n]{a_1...a_n}+\sqrt[ ]{b_1...b_n}\leq{\displaystyle\frac{a_1+...+a_n}{n}+\displaystyle\frac{b_1+...+b_n}{n}}=\displaystyle\frac{n}{n}=1 \] y queda demostrado.

Una sencilla inspección nos dice además que la igualdad se da si y solo si todas las \[ a_i \] son iguales entre si y todas las \[ b_i \] también, o existe \[ m\in{\left\{{1,...,n}\right\}} \] tal que \[ a_m=0 \] ó \[ b_m=0 \].

[cerrar]

Saludos