Ingresar
Registrarse
05 Febrero, 2023, 03:48 pm
Menu
Ingresar
Registrarse
Inicio
Ingresar
Registrarse
Rincón Matemático
»
Revista, Técnicas, Cursos, Problemas
»
Problemas y Desafíos
»
Problema del mes
Tema:
Problema del mes de Mayo
« anterior
próximo »
Imprimir
Páginas: [
1
]
Ir Abajo
Autor
Tema: Problema del mes de Mayo
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
30 Junio, 2003, 01:41 am
Leído 19688 veces
xhant
Visitante
Problema del mes de Mayo
No voy a dar una respuesta.
Pero voy a decir que se parece a la
desigualdad de Jensen.
En línea
13 Agosto, 2009, 03:08 am
Respuesta #1
Héctor Manuel
Lathi
Mensajes: 3,701
País:
Karma: +0/-0
Sexo:
Re: Problema del mes de Mayo
Bueno, me parece que este es el único problema mensual que falta por resolverse. He aquí mi solución (aunque tal vez muy tarde por la antigüedad del post).
Spoiler
Sea \( m\in{\left\{{1,...,n}\right\}} \). Si \( a_m+b_m=0 \) entonces \( a_m=b_m=0 \) y ya terminamos (pues ambos lados de la desigualdad son 0). Supongamos entonces que \( a_m+b_m\neq{0} \) para cualquier \( m\in{\left\{{1,...,n}\right\}} \).
Nuevamente, dejando \( m \) fijo, sea \( t>0 \) y \( f_m(a_m,b_m)=\sqrt[n]{a_1...a_m...a_n}+\sqrt[n]{b_1...b_m...b_n}-\sqrt[n]{(a_1+b_1)...(a_m+b_m)...(a_n+b_n)} \). Entonces \( f_m(ta_m,tb_m)=t^{1/n}f_m(a_m,b_m) \), de donde \( f_m \) es una función homogénea en sus variables, y por tanto puede ser normalizada. Esto significa que podemos suponer \( a_m+b_m=1 \) y como \( m \) es arbitraria, entonces \( a_m+b_m=1 \) para cualquier \( m\in{\left\{{1,...,n}\right\}} \). Luego, la desigualdad buscada es equivalente a demostrar que \( \sqrt[n]{a_1...a_n}+\sqrt[n ]{b_1...b_n}\leq{1} \).
Pero por la desigualdad entre la media geométrica y aritmética se tiene que \( \sqrt[n]{a_1...a_n}+\sqrt[ ]{b_1...b_n}\leq{\displaystyle\frac{a_1+...+a_n}{n}+\displaystyle\frac{b_1+...+b_n}{n}}=\displaystyle\frac{n}{n}=1 \) y queda demostrado.
Una sencilla inspección nos dice además que la igualdad se da si y solo si todas las \( a_i \) son iguales entre si y todas las \( b_i \) también, o existe \( m\in{\left\{{1,...,n}\right\}} \) tal que \( a_m=0 \) ó \( b_m=0 \).
[cerrar]
Saludos
En línea
Imprimir
Páginas: [
1
]
Ir Arriba
« anterior
próximo »
Rincón Matemático
»
Revista, Técnicas, Cursos, Problemas
»
Problemas y Desafíos
»
Problema del mes
Tema:
Problema del mes de Mayo
Ingresar
×
Bienvenido(a),
Visitante
. Por favor,
ingresa
o
regístrate
.
1 Hora
1 Día
1 Semana
1 Mes
Siempre
Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión