[lorena.zambrano]

Un comerciante acude al mercado popular a comprar naranjas con \( 5000 $ \). Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a \( 5 $ \) el kg. y las de tipo B a \( 8 $ \). el kg. Sabiendo que sólo dispone de su camioneta con espacio para transportar \( 700 kg \). de naranjas como máximo y que piensa vender el kg. de naranjas tipo A a Bs. \( 6 $ \). y el kg. de tipo B a \( 9 $ \).
¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio? ¿Cuál será ese beneficio máximo?

  a)   ¿Este problema se puede plantear  como un problema de Programación Lineal? Me pueden Explicar ¿Por qué?                           
  b)  cómo se  Formula matemáticamente este problema de programación lineal?

[Luis Fuentes]

Hola

Un comerciante acude al mercado popular a comprar naranjas con \( 5000 $ \). Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a \( 5 $ \) el kg. y las de tipo B a \( 8 $ \). el kg. Sabiendo que sólo dispone de su camioneta con espacio para transportar \( 700 kg \). de naranjas como máximo y que piensa vender el kg. de naranjas tipo A a Bs. \( 6 $ \). y el kg. de tipo B a \( 9 $ \).
¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio? ¿Cuál será ese beneficio máximo?

  a)   ¿Este problema se puede plantear  como un problema de Programación Lineal? Me pueden Explicar ¿Por qué?                           
  b)  cómo se  Formula matemáticamente este problema de programación lineal?

 Si llamas \( x,y \) respectivamente a los kilos de naranjas de tipo A,B que compras. Las restricciones son:

- No pueden ser negativos: \( x,y\geq 0 \).
- "Sólo dispone de su camioneta con espacio para transportar \( 700 kg \)": \( x+y\leq 700 \)
- "con \( 5000 $ \). Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a \( 5 $ \) el kg. y las de tipo B a \( 8 $ \). el kg.": \( 5x+8y\leq 5000 \).

El beneficio es lo que gana al vender menos lo que gastó al comprar:

\( f(x,y)=(6-5)x+(9-8)y=x+y \)

La región factible está representada en el dibujo.



El óptimo se alcanza en alguno de los vértices.

P.D. No se si has copiado bien los dados. En realidad en ambos tipos de frutas de obtiene el mismo beneficio. Así que lo mejor es comprar la mayor cantidad posible y por tanto las más baratas. El óptimo (que no es único) claramente se alcanza comprando todas (los \( 700 \)kg que caben en la camioneta) de tipo A.

[ani_pascual]

Hola:

... ¿Cuál será ese beneficio máximo?

  a)   ¿Este problema se puede plantear  como un problema de Programación Lineal? Me pueden Explicar ¿Por qué?                           
  b)  cómo se  Formula matemáticamente este problema de programación lineal?

Hola:
Por aportar algo... a veces, la exposición de los datos en una tabla, ayuda a plantear las restricciones y la función objetivo:

\(  \begin{array}{l|c|c|c}& A & B& \mbox{TOPE}\\\hline \mbox{GASTOS}\,\,\, (\$ /kg )&5 & 8&5000\\\hline \mbox{INGRESOS}\,\,\, (\$ / kg )&6 & 9\\\hline \mbox{kg}& x & y &700\\\hline\end{array} \)

Así, la función objetivo, en este caso, el beneficio (ingresos menos gastos), es, suponiendo que se vende todo lo que se compra, \( f(x,y)=6x+9y-(5x+8y)=x+y \) y las restricciones son \( \left\{\begin{array}{l}
x\geq 0\\y\geq 0\\x+y\leq 700\\
5x+8y\leq 5000\end{array}\right. \)
Lo que sigue ya lo ha resuelto Luis Fuentes 
Saludos

[lorena.zambrano]

Chicos gracias por sus respuestas, me pueden explicar por qué este problema se puede plantear como programación lineal? Cómo puedo saber si se puede o no resolver con programación lineal?

[Luis Fuentes]

Hola

Chicos gracias por sus respuestas, me pueden explicar por qué este problema se puede plantear como programación lineal? Cómo puedo saber si se puede o no resolver con programación lineal?

Se puede plantear como un problema de programación lineal en dos variables, porque tanto sus restricciones como función objetivo son funciones lineales, es decir, restricciones de la forma:

\( ax+by\geq (\leq,=)c \)

y función objetivo \( f(x,y)=ax+by+x \).

Saludos.

[Florruiz]

Hola, necesito resolver este ejercicio pero en clases nos han pedido plantear en forma canónica, estándar y matricial. Necesito orientación

[Florruiz]

La forma estándar de este problema. Quedaría así
Minimizar

\( \displaystyle f(x,y) = -x-y

\\ Sujeto \\  a \\

 \ \ x + y + s_1= 700

\\5x + 8y +s_2 = 5000
\\
x≥0 \  , y≥0 \ , s_1≥0 \ , s_2≥0 \)

¿En el caso de la canónica y matricial pueden proporcionar ejemplos?

[Luis Fuentes]

Hola

La forma estándar de este problema. Quedaría así
Minimizar

\( \displaystyle f(x,y) = -x-y

\\ Sujeto \\  a \\

 \ \ x + y + s_1= 700

\\5x + 8y +s_2 = 5000
\\
x≥0 \  , y≥0 \ , s_1≥0 \ , s_2≥0 \)

¿En el caso de la canónica y matricial pueden proporcionar ejemplos?

En la forma canónica:

- Debe de ser una maximización.
- Las restricciones todas de tipo \( \leq  \).
- Todas las variables no negativas.

Sería en este caso maximizar:

\( f(x,y)=x+y \)

bajo las restricciones:

\( x+y\leq 700 \)
\( 5x+8y\leq 5000 \)

con \( x,y\leq 0 \).ç

En forma matricial:

Maximizar: \( \begin{pmatrix}1 &1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\\\end{pmatrix} \)

Restricciones:  \( \begin{pmatrix}1 &1\\5&8\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\\\end{pmatrix}\leq \begin{pmatrix}700 \\5000\\\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}x \\y\\\end{pmatrix}\geq 0 \)

Saludos.

[Florruiz]

Hola, ¿la forma estándar del problema está bien formulada?

Deseo determinar el espacio solución con todas las regiones factibles del problema, en este caso debo resolver las ecuaciones que se forman en la intercepción de cada vértice?

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, ¿la forma estándar del problema está bien formulada?

Si, aunque en la definición que manejo de forma estándar se permite maximizar o minimizar. Así que podrías haber puesto como función objetivo \( x+y \) (maximizar) en lugar de \( -x-y \) (minimizar).

Deseo determinar el espacio solución con todas las regiones factibles del problema, en este caso debo resolver las ecuaciones que se forman en la intercepción de cada vértice?

Si; en esencia eso está hecho en la gráfica de mi primera respuesta.

Saludos.