[Rodrigo Quintana]

Hola! Dejo este ejercicio que no se por donde tirar por si alguien me puede dar una idea.
Entiendo que hay que hacerlo por definicion de límite pero no caigo.

Sea \( \{a_n\} \) y \( \{b_n\} \), con \( n \in \mathbb{N} \), dos sucesiones de numeros reales convergentes con límite \( a \) y \( b \).
Demuestra que si \( a<b \), entonces se verifica que existe \( n_0\in \mathbb{N} \) tal que \( a_n<b_n \) para todo \( n>n_0 \).

[delmar]

Hola

\( \exists{\ b-a}>0, \ \exists{\epsilon_1, \ \wedge \ \epsilon_2}>0 \ \ / \ \ \epsilon_1+\epsilon_2<b-a  \) aplica la definición de límite a ambas sucesiones \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{a_n}=a, \ \ \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{b_n}=b \) específicamente para \( \epsilon_1, \ \epsilon_2 \) respectivamente  y podrás deducir la \( \exists{n_0} \ / \ si \ n>n_0\Rightarrow{a_n}<b_n \) adelante.




Saludos

[ani_pascual]

Hola:

Hola! Dejo este ejercicio que no se por donde tirar por si alguien me puede dar una idea.
Entiendo que hay que hacerlo por definicion de límite pero no caigo.

Un poco más detallado ...
Como es \( a<b\Longrightarrow a<\dfrac{a+b}{2}<b \); existe \( n_a\in\mathbb{N} \) tal que \( \forall\,n\geq n_a \) se cumple \( |a_n-a|<\dfrac{b-a}{2}\Longrightarrow a_n-a<\dfrac{b-a}{2}\Longrightarrow a_n<\dfrac{a+b}{2}\,\,\forall\,n\geq n_a \)
Por otra parte, existe \( n_b\in\mathbb{N} \) tal que \( \forall\,n\geq n_b \) se cumple \( |b_n-b|<\dfrac{b-a}{2}\Longrightarrow - \dfrac{b-a}{2}<b_n-b\Longrightarrow \dfrac{a+b}{2}<b_n,\,\,\,\forall\,n\geq n_b \).
Sea entonces \( n_0=max\{n_a,n_b\} \), cumple \( \forall\,n\geq n_0,\,\,a_n<\dfrac{a+b}{2}<b_n \)
Saludos

[Rodrigo Quintana]

Un poco más detallado ...
Como es \( a<b\Longrightarrow a<\dfrac{a+b}{2}<b \); existe...

Vale, entiendo la demostración, solamente tengo una duda sobre esta parte. ¿Dónde utilizas que \( a<b\Longrightarrow a<\dfrac{a+b}{2}<b \)?
Quiero decir, ¿no bastaría con probar que como \( a<b\Longrightarrow \dfrac{b-a}{2}>0 \) para poder considerar \( \epsilon=\dfrac{b-a}{2} \)?

Saludos!

[delmar]

Lo usa en la última línea, se tiene que existe \( n_0\in{N} \ / \ si \ n\geq{n_0}\Rightarrow{a<a_n<\displaystyle\frac{a+b}{2}<b_n<b} \) por transitividad \( a<a_n<b_n<b \)

Saludos

[Rodrigo Quintana]

Lo usa en la última línea, se tiene que existe \( n_0\in{N} \ / \ si \ n\geq{n_0}\Rightarrow{a<a_n<\displaystyle\frac{a+b}{2}<b_n<b} \) por transitividad \( a<a_n<b_n<b \)

Saludos

Entendido. Gracias!

[ani_pascual]

Hola:

Lo usa en la última línea, se tiene que existe \( n_0\in{N} \ / \ si \ n\geq{n_0}\Rightarrow{a<a_n<\displaystyle\frac{a+b}{2}<b_n<b} \) por transitividad \( a<a_n<b_n<b \)

¡Ojo! lo que se asegura es que existe \( n_0\in\mathbb{N} \) tal que \( \forall\,n\geq n_0 \) se cumple \( a_n<b_n \), pero pudiera ser que para algunos  \( n \) sea \( a_n<a \) o \( b<b_n \).
Saludos

[delmar]

Hola:

Lo usa en la última línea, se tiene que existe \( n_0\in{N} \ / \ si \ n\geq{n_0}\Rightarrow{a<a_n<\displaystyle\frac{a+b}{2}<b_n<b} \) por transitividad \( a<a_n<b_n<b \)

¡Ojo! lo que se asegura es que existe \( n_0\in\mathbb{N} \) tal que \( \forall\,n\geq n_0 \) se cumple \( a_n<b_n \), pero pudiera ser que para algunos  \( n \) sea \( a_n<a \) o \( b<b_n \).
Saludos

Sí correcto, al considerar los \( n\geq{n_0} \ / a-\displaystyle\frac{b-a}{2}<a_n<a \) por el hecho que los \( b_n\in{(b-\displaystyle\frac{b-a}{2},b+\displaystyle\frac{b-a}{2})}\Rightarrow{b_n>\displaystyle\frac{a+b}{2}>a} \) siempre se dará \( a_n<b_n \), lo que puse en mi aporte anterior era la situación más crítica.

Saludos