[Kolobondo]

Hola, alguien sabe si es verdad que \( \mathbb{R}\subset \mathbb{R}^2 \)

[manooooh]

Hola Kolobondo, bienvenido al foro!!

Recuerda leer y seguir las reglas del mismo así como el tutorial del \( \mathrm\LaTeX \) para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Hola, alguien sabe si es verdad que \( \mathbb{R}\subset \mathbb{R}^2 \)

Desde un punto de vista lógico:

\( \forall x,y\colon x\in\Bbb{R}\land y\in\Bbb{R}\to(x,y)\in\Bbb{R}\times\Bbb{R}=\Bbb{R}^2. \)

Desde un punto de vista geométrico, la noción de "subconjunto de \( \Bbb{R}^2 \)" significa tomar una porción del plano. Por ejemplo, el conjunto formado por el punto \( (1,2) \) es subconjunto del plano (\( \Bbb{R}^2 \)). Una recta también es subconjunto del plano (porque es un conjunto infinito de puntos).

Saludos

EDIT. No está bien, revisar mensajes posteriores

[Fernando Revilla]

Hola, alguien sabe si es verdad que \( \mathbb{R}\subset \mathbb{R}^2 \)

Estrictamente no, ahora bien existe una biyección natural dada por \( x\mapsto (x,0) \) entre \( \mathbb{R} \) y \( \mathbb{R}\times \left\{{0}\right\}\subset \mathbb{R}^2 \) y si identificas \( x \) con \( (x,0) \) puedes (en tal contexto) decir que \( \mathbb{R}\subset \mathbb{R}^2 \).

[manooooh]

Hola

Estrictamente no, ahora bien existe una biyección natural dada por \( x\mapsto (x,0) \) entre \( \mathbb{R} \) y \( \mathbb{R}\times \left\{{0}\right\}\subset \mathbb{R}^2 \) y si identificas \( x \) con \( (x,0) \) puedes (en tal contexto) decir que \( \mathbb{R}\subset \mathbb{R}^2 \).

¿La secuencia lógica que planteé falla en algo? Porque no lo veo.

Gracias y saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Estrictamente no, ahora bien existe una biyección natural dada por \( x\mapsto (x,0) \) entre \( \mathbb{R} \) y \( \mathbb{R}\times \left\{{0}\right\}\subset \mathbb{R}^2 \) y si identificas \( x \) con \( (x,0) \) puedes (en tal contexto) decir que \( \mathbb{R}\subset \mathbb{R}^2 \).

¿La secuencia lógica que planteé falla en algo? Porque no lo veo.

Si por la secuencia lógica te refieres a esto:

\( \forall x,y\colon x\in\Bbb{R}\land y\in\Bbb{R}\to(x,y)\in\Bbb{R}\times\Bbb{R}=\Bbb{R}^2. \)

sinceramente no sé exactamente que relación exacta pretendes que tenga con lo que se pregunta; lo que dices ahí es que cualquier par \( x,y \) de número reales cumple que el par \( (x,y) \) está en el producto cartesiano de los reales consigo mismo. ¿Y exactamente cómo responde eso a lo preguntado en este hilo?

¿Y en qué sentido se contradice (porque es lo que parece que apuntas, aunque no estoy seguro) con lo indicado por Fernando?.

Saludos.

[manooooh]

Hola

Si por la secuencia lógica te refieres a esto:

\( \forall x,y\colon x\in\Bbb{R}\land y\in\Bbb{R}\to(x,y)\in\Bbb{R}\times\Bbb{R}=\Bbb{R}^2. \)

sinceramente no sé exactamente que relación exacta pretendes que tenga con lo que se pregunta; lo que dices ahí es que cualquier par \( x,y \) de número reales cumple que el par \( (x,y) \) está en el producto cartesiano de los reales consigo mismo. ¿Y exactamente cómo responde eso a lo preguntado en este hilo?

¿Y en qué sentido se contradice (porque es lo que parece que apuntas, aunque no estoy seguro) con lo indicado por Fernando?.

Sí, me refiero a eso.

\( A\subset B \) signfica que para todo \( x \), si \( x\in A \) entonces \( x\in B \). Es lo mismo que hago. Para todo \( x,y \), si \( x\in\Bbb{R}\land y\in\Bbb{R} \) luego por definición de producto cartesiano, \( (x,y)\in\Bbb{R}\times\Bbb{R} \) o sea \( (x,y)\in\Bbb{R}^2 \).

Ahora que veo no me había percatado que el elemento que yo tomo al principio son: \( x \) e \( y \), pero no es el mismo con el que concluyo: \( (x,y) \). ¿Es este el fallo?

Si fuera ese el fallo, me sorprendería que la inclusión sea falsa. Tenía entendido que \( \Bbb{R}\subset\Bbb{R}^2\subset\dots\subset\Bbb{R}^n \).

Saludos

[geómetracat]

\( A\subset B \) signfica que para todo \( x \), si \( x\in A \) entonces \( x\in B \). Es lo mismo que hago. Para todo \( x,y \), si \( x\in\Bbb{R}\land y\in\Bbb{R} \) luego por definición de producto cartesiano, \( (x,y)\in\Bbb{R}\times\Bbb{R} \) o sea \( (x,y)\in\Bbb{R}^2 \).

Ahora que veo no me había percatado que el elemento que yo tomo al principio son: \( x \) e \( y \), pero no es el mismo con el que concluyo: \( (x,y) \). ¿Es este el fallo?

Si fuera ese el fallo, me sorprendería que la inclusión sea falsa. Tenía entendido que \( \Bbb{R}\subset\Bbb{R}^2\subset\dots\subset\Bbb{R}^n \).

El fallo es anterior. Si quieres probar que \( \Bbb R \subseteq \Bbb R^2 \), lo que tienes que hacer es tomar un elemento \( x \in \Bbb R \) y probar que \( x \in \Bbb R^2 \). Tú tomas de entrada dos elementos de \( \Bbb R \), no sé muy bien por qué.

Y está claro que no vas a poder demostrar que si \( x\in \Bbb R \) entonces \( x\in \Bbb R^2 \) porque eso es falso (los elementos de \( x\in \Bbb R^2 \) no son reales, son pares ordenados de reales). Otro tema es lo que menciona Fernando, puedes considerar que \( \Bbb R \subseteq \Bbb R^2 \) identificando cada real \( x \) con el par \( (x,0) \).
Pero con las definiciones usuales, y estrictamente hablando, se tiene que \( \Bbb R \not\subseteq \Bbb R^2 \)

[manooooh]

Hola

El fallo es anterior. Si quieres probar que \( \Bbb R \subseteq \Bbb R^2 \), lo que tienes que hacer es tomar un elemento \( x \in \Bbb R \) y probar que \( x \in \Bbb R^2 \). Tú tomas de entrada dos elementos de \( \Bbb R \), no sé muy bien por qué.

Y está claro que no vas a poder demostrar que si \( x\in \Bbb R \) entonces \( x\in \Bbb R^2 \) porque eso es falso (los elementos de \( x\in \Bbb R^2 \) no son reales, son pares ordenados de reales). Otro tema es lo que menciona Fernando, puedes considerar que \( \Bbb R \subseteq \Bbb R^2 \) identificando cada real \( x \) con el par \( (x,0) \).
Pero con las definiciones usuales, y estrictamente hablando, se tiene que \( \Bbb R \not\subseteq \Bbb R^2 \)

Gracias, lo entendí. Tomaba dos elementos porque como en el producto cartesiano hay pares ordenados, pues la prueba se encaminaba a que forme pares ordenados, pero ahora veo que estaba mal.

Por otro lado, ¿cómo sería eso de la biyección \( f(x)=(x,0) \)? Entiendo que cada real "cae" en el eje \( y \), pero ¿cómo se demuestra formalmente que, usando esa biyección, se tiene que \( \Bbb{R}\subset\Bbb{R}^2 \)? Lo quiero demostrar usando la definición de inclusión entre conjuntos.

Saludos

[Masacroso]

Por otro lado, ¿cómo sería eso de la biyección \( f(x)=(x,0) \)? Entiendo que cada real "cae" en el eje \( y \), pero ¿cómo se demuestra formalmente que, usando esa biyección, se tiene que \( \Bbb{R}\subset\Bbb{R}^2 \)? Lo quiero demostrar usando la definición de inclusión entre conjuntos.

Saludos

Hablando con algo de pulcritud jamás podrás demostrar que \( \mathbb{R}\subset \mathbb{R}^2 \) porque es falso. Lo que sí se puede mostrar es que existe un subconjunto de \( \mathbb{R}^2 \) que es isomorfo a \( \mathbb{R} \), cuyo isomorfismo dependerá de la categoría que estemos considerando.

Por ejemplo, en la categoría de conjuntos los conjuntos \( \mathbb{R} \) y \( (0,1)\times\{\pi\} \) son isomorfos, que quiere decir que tienen la misma cardinalidad, e incluso \( \mathbb{R} \) y \( \mathbb{R}^2 \) son isomorfos (en la categoría de conjuntos). Pero como \( \mathbb{R} \), además de ser un conjunto, tiene otra serie de estructuras algebraicas y analíticas definidas entonces es más interesante considerar otros tipos de isomorfismos, como en la categorías de grupos, anillos o espacios vectoriales, o mejor aún, de cuerpos.

En \( \mathbb{R}^2 \) se puede definir una estructura de cuerpo, de tal modo que \( \mathbb{R}^2 \) es isomorfo (como cuerpo) a \( \mathbb{C} \), usando la función \( \varphi :\mathbb{R}^2\to \mathbb{C}, \, (x,y)\mapsto x+iy \). Entonces, con tal estructura en \( \mathbb{R}^2 \) tenemos que la función \( f \) previamente descrita por Fernando Revilla establece un isomorfismo (de cuerpos) entre \( \mathbb{R} \) y \( \mathbb{R}\times \{0\} \).

Significa que, en tal contexto, \( \mathbb{R} \) y \( \mathbb{R}\times \{0\} \) son esencialmente el mismo objeto matemático, eso se denota por expresiones como \( \mathbb{R}\simeq \mathbb{R}\times \{0\} \). Dentro de este contexto también podemos decir que \( \mathbb{R} \) está embebido (o encajado) en \( \mathbb{R}^2 \), que se denota por expresiones como \( \mathbb{R}\hookrightarrow \mathbb{R}^2  \), que significa que existe una función (en este caso \( \tilde f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}^2,\, x\mapsto (x,0) \)) cuya restricción a su imagen define un isomorfismo entre \( \mathbb{R} \) y tal imagen (en este caso \( \mathbb{R}\times \{0\} \) es tal imagen).

Pero, repito, que dos objetos matemáticos sean isomorfos en alguna categoría no significa que sean el mismo objeto, como ocurre con \( \mathbb{R} \) y \( \mathbb{R}\times  \{0\} \).

[Fernando Revilla]

   De acuerdo con lo manifestado por Masacroso. Hay una forma aparentemente imprecisa de hablar de ciertos contenidos falsos. Por ejemplo, a priori, a la pregunta \( \mathbb{\mathbb{Z}}\subset \mathbb{Q} \) todo el mundo respondería que es cierto. Sin embargo a partir de la típica construcción del cuerpo de fracciones del dominio de integridad \( \mathbb{Z} \) vía \( \mathbb{Q}=\mathbb{Z}\times \left(\mathbb{Z}-\left\{{0}\right\}\right)/\sim \), sería falsa la inclusión  \( \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}  \) salvo la identificación de \( x\in \mathbb{Z} \) con \( \displaystyle\frac{x}{1}\in\mathbb{Q} \), identificación coherente debido al isomorfismo de anillos \( \mathbb{Z}\cong \left\{{\dfrac{x}{1}}\in\mathbb{Z}\right\} \) dado por \( x\mapsto \displaystyle\frac{x}{1} \).