[matesmarcos]

Hola buenas,

Estoy estudiando diferenciabilidad de funciones de varias variables, y al final de cada tema en mi libro de texto hay una serie de ejercicios propuestos.

Hay uno en concreto que no sé cómo hacer porque no entiendo muy bien con qué información estoy trabajando. El ejercicio dice así:

Sea \( f: \Bbb R^3 \to \Bbb R \) una función de clase \( \mathcal{C^1} \) tal que \( f(1,0,1) = f(2,0,2) \). Razona por qué existe \( \theta \in [1,2] \) tal que \( \frac{\partial f}{\partial x}(\theta, 0, \theta) + \frac{\partial f}{\partial z}(\theta, 0, \theta) = 0 \).

Agradezco cualquier explicación o ayuda

[ani_pascual]

Hola:

Sea \( f: \Bbb R^3 \to \Bbb R \) una función de clase \( \mathcal{C^1} \) tal que \( f(1,0,1) = f(2,0,2) \). Razona por qué existe \( \theta \in [1,2] \) tal que \( \frac{\partial f}{\partial x}(\theta, 0, \theta) + \frac{\partial f}{\partial z}(\theta, 0, \theta) = 0 \).

Agradezco cualquier explicación o ayuda

Te sugiero aplicar el teorema de Rolle a la función \( g:[1,2]\subset \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \) dada por \( g(t)=f(t,0,t) \)
Saludos

[Fernando Revilla]

Te sugiero aplicar el teorema de Rolle a la función \( g:[1,2]\subset \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \) dada por \( g(t)=f(t,0,t) \)

 

[matesmarcos]

Hola,

No aparece el teorema de Rolle en mi libro, así que no sé si es lo que pretenden que aplique. En todo caso, ¿me puedes enunciar cómo es y de qué manera lo podría utilizar? En los enunciados que he buscado por internet sólo lo he visto para funciones de una variable.

[ani_pascual]

Hola:

No aparece el teorema de Rolle en mi libro, así que no sé si es lo que pretenden que aplique. En todo caso, ¿me puedes enunciar cómo es y de qué manera lo podría utilizar? En los enunciados que he buscado por internet sólo lo he visto para funciones de una variable.

El teorema afirma que dada una función \( g:[a,b]\subset\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}  \) continua en \( [a,b] \) y derivable en \( ]a,b[ \) y si \( g(a)=g(b) \), entonces existe \( \theta\in ]a,b[ \) tal que \( g'(\theta)=0 \). Te he sugerido aplicarlo a la función \( g:[1,2]\subset\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \) dada por \( g(t)=f(t,0,t) \) porque cumple las condiciones del teorema. Ten en cuenta que al derivar tienes que aplicar la regla de la cadena, ya que si \( \begin{array}[t]{rcl}h:[1,2]\subset\mathbb{R}&\longrightarrow &\mathbb{R}^3\\t&\mapsto &(t,0,t)\end{array}\hspace{0.5cm}  \) y \( \hspace{0.5cm}\begin{array}[t]{rcl}f:\mathbb{R}^3&\longrightarrow &\mathbb{R}\\(x,y,z)&\mapsto &f(x,y,z)\end{array} \) se tiene que \( g=f\circ h \).  ¿De qué nivel es el libro? Normalmente en los textos de bachillerato suelen incluirlo.
Saludos

[matesmarcos]

Hola,

Sí, en bachillerato se enuncia aunque un poco por encima, por eso me sonaba. Mi libro es de nivel universitario, no sé por qué no aparece por ningún lado. Lo que sí está es el teorema del valor medio, y usando eso también me ha salido el ejercicio, tras pensarlo un rato.

De todas formas, muchas gracias por la explicación, ya que cuantas más herramientas tenga para resolver cuestiones y problemas, mejor.

[ani_pascual]

Hola:

Sí, en bachillerato se enuncia aunque un poco por encima, por eso me sonaba. Mi libro es de nivel universitario, no sé por qué no aparece por ningún lado. Lo que sí está es el teorema del valor medio, y usando eso también me ha salido el ejercicio, tras pensarlo un rato.

¡Claro, tenía que salirte también con el TVM! Ten en cuenta que el teorema de Rolle es un caso particular del TVM; es el caso en el que \( f(b)=f(a) \) 
Saludos