[Nub]

Hola:

Hasta aca todo bien, lo único que me queda duda es lo que hacia yo por ejemplo \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^2-2x}\sim{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}x^2{}} \) (Tal vez es un teorema que se pude demostrar, puede ser literalmente limites equivalentes)

Se trata de las llamadas funciones infinitos equivalentes; es decir, que tienden a infinito y que cumplen \( \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=1 \), y se escribe \( f(x)\sim g(x) \) cuando \( x\to +\infty \).
Entonces, a la hora de calcular, por ejemplo, un límite en el que aparece una de las funciones en forma de factor, se puede sustituir por la otra \( \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{f(x)}{h(x)}=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{f(x)\cdot g(x)}{h(x)\cdot g(x)}=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}\cdot \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{g(x)}{h(x)}=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{g(x)}{h(x)} \). En el caso de tu ejemplo, \( f(x)=x^2-2x\sim g(x)=x^2 \) cuando \( x\to +\infty \), luego \( \lim\limits_{x\to \infty}x^2-2x=\lim\limits_{x\to \infty}(x^2-2x)\cdot\dfrac{x^2}{x^2}=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x^2-2x}{x^2}\cdot x^2=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x^2-2x}{x^2}\cdot \lim\limits_{x\to \infty}x^2=1\cdot \lim\limits_{x\to \infty}x^2=\lim\limits_{x\to \infty}x^2 \)
Saludos

Lo entiendo, por ejemplo puedo ver que \( e^x \) es equivalente a \( e^x+ln(x)+x^2 \) pues \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{e^x+ln(x)+x^2}{e^x}{}=\displaystyle\frac{e^x(1+\displaystyle\frac{ln(x)}{e^x}+\displaystyle\frac{x^2}{e^x})}{e^x}=1 \)

Pero el punto aquí no es este, sino de que "siempre funciona", los infinitesimos equivalentes tengo entendido que son caso a caso, es decir que alguien se puso a probar caso a caso esos limites y bueno los que le dio por resultado 1 los guardo en su lista de infinitesimos equivalentes. Aca yo lo hago como un truco, agarro el factor con mayor orden y tomo limite y funciona, deberia ser un teorema, pregunto esto pues hay casos que no se si funcionarían como con raíces

[Nub]

\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^x -5x^3 -2x+1 = \lim_{x \to +\infty} e^x \cdot (1-\dfrac{5x^3}{e^x} - \dfrac{2x}{e^x} + e^{-x}) = +\infty \)

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}x^3(\displaystyle\frac{e^x}{x^3}-5-\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3}){}=+\infty \)

[Juan Pablo Sancho]

Si también está bien, pero en general si tienes \( k \) funciones tomas la que más rápidamente tiende a infinito, suponiendo que es \( f_j(x) \).
\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sum_{i=1}^k f_i(x) = \lim_{x \to +\infty} f_j(x) \cdot \sum_{i=1}^k \dfrac{f_i(x)}{f_j(x)}  \).

[Nub]

Si también está bien, pero en general si tienes \( k \) funciones tomas la que más rápidamente tiende a infinito, suponiendo que es \( f_j(x) \).
\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sum_{i=1}^k f_i(x) = \lim_{x \to +\infty} f_j(x) \cdot \sum_{i=1}^k \dfrac{f_i(x)}{f_j(x)}  \).

Viendo esto, no se podria demostrar lo que yo decía de los equivalentes? osea si tengo k funciones y tomo la que la mas rápidamente tiende a infinito esta funcion es equivalente a las k funciones

[Juan Pablo Sancho]

Si, asi es.

Por ejemplo:
\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} -e^x +x^7 = \lim_{x \to +\infty} -e^x \cdot (1 - \dfrac{x^7}{e^x}) = \lim_{x \to +\infty} e^x \cdot (-1 + \dfrac{x^7}{e^x})  \).

[Nub]

Creo que acá hay una foma para ver que funciona tomar las funciones de mayor orden y despreciar las otras
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{e^x+1}{x^3+2x+1}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{e^x(1+\displaystyle\frac{1}{e^x})}{x^3(1+\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3})}{}=\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}e^x(1+\displaystyle\frac{1}{e^x}){}}{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}x^3(1+\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3}){}}=\\=\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}e^x{}*\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}(1+\displaystyle\frac{1}{e^x}){}}{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}x^3{}*\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}(1+\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3}){}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{e^x}{x^3}*{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}(\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{1}{e^x})}{1+2/x^2+1/x^3}{}{}}{}=+\infty*1 \) ahi basicamente se ve que lo que importa es el \( \displaystyle\frac{e^x}{x^3} \)

[ani_pascual]

Hola:

Creo que acá hay una foma para ver que funciona tomar las funciones de mayor orden y despreciar las otras
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{e^x+1}{x^3+2x+1}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{e^x(1+\displaystyle\frac{1}{e^x})}{x^3(1+\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3})}{}=\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}e^x(1+\displaystyle\frac{1}{e^x}){}}{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}x^3(1+\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3}){}}=\\=\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}e^x{}*\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}(1+\displaystyle\frac{1}{e^x}){}}{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}x^3{}*\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}(1+\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3}){}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{e^x}{x^3}*{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}(\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{1}{e^x})}{1+2/x^2+1/x^3}{}{}}{}=+\infty*1 \) ahi basicamente se ve que lo que importa es el \( \displaystyle\frac{e^x}{x^3} \)

Claro, también se puede ver de esta manera: \( (e^x+1)\sim e^x \) y \( (x^3+2x+1)\sim x^3 \) cuando \( x\to\infty \), es decir, son infinitos equivalentes y, por tanto, se pueden sustituir unos por otros:
\( \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{e^x+1}{x^3+2x+1}=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{e^x}{x^3}=+\infty \)
Saludos

[Nub]

Hola:

Creo que acá hay una foma para ver que funciona tomar las funciones de mayor orden y despreciar las otras
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{e^x+1}{x^3+2x+1}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{e^x(1+\displaystyle\frac{1}{e^x})}{x^3(1+\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3})}{}=\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}e^x(1+\displaystyle\frac{1}{e^x}){}}{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}x^3(1+\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3}){}}=\\=\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}e^x{}*\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}(1+\displaystyle\frac{1}{e^x}){}}{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}x^3{}*\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}(1+\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3}){}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{e^x}{x^3}*{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}(\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{1}{e^x})}{1+2/x^2+1/x^3}{}{}}{}=+\infty*1 \) ahi basicamente se ve que lo que importa es el \( \displaystyle\frac{e^x}{x^3} \)

Claro, también se puede ver de esta manera: \( (e^x+1)\sim e^x \) y \( (x^3+2x+1)\sim x^3 \) cuando \( x\to\infty \), es decir, son infinitos equivalentes y, por tanto, se pueden sustituir unos por otros:
\( \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{e^x+1}{x^3+2x+1}=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{e^x}{x^3}=+\infty \)
Saludos

Si... pero para eso hay que hacer el limite del cociente de esas 2 funciones y ver que de 1, por eso preguntaba si había un teorema que diga exactamente en que casos funciona, por ejemplo un caso loco con productos,raices,logaritmos,etc

[Juan Pablo Sancho]

En este paso tienes un infinito dividido por infinito
\( \displaystyle \displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}e^x(1+\displaystyle\frac{1}{e^x}){}}{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}x^3(1+\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3}){}}  \)

El límite pasa al denominador y numerador si   existen ambos y el del denominador  es diferente de cero en los demás casos no (se podría extender un poco mas).

En general sacas como factor la función del numerador que tienda a infinito mas deprisa y lo mismo con el denominador y luego hay que estudiar lo que se puede hacer.

[Nub]

En este paso tienes un infinito dividido por infinito
\( \displaystyle \displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}e^x(1+\displaystyle\frac{1}{e^x}){}}{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}x^3(1+\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3}){}}  \)

El límite pasa al denominador y numerador si   existen ambos y el del denominador  es diferente de cero en los demás casos no (se podría extender un poco mas).

En general sacas como factor la función del numerador que tienda a infinito mas deprisa y lo mismo con el denominador y luego hay que estudiar lo que se puede hacer.

No entendi, yo quite la indeterminación, es cierto que en ese paso es indeterminado pero la quite