[Nub]

Hola, se calcularlos pero en realidad no se porque funciona todo esto es decir, los resuelvo de forma mecanica sin saber que hago

1) \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{2x^2+x+1}=2(+\infty)^2+(\infty)+1=+ \infty \)

Esto se saca de pensar a \( x \) como un numero muy grande positivo, multiplicar por 2 un numero muy grande positvo da por resultado un numero muy grande positivo, sumar a dicho numero muy grande otro numero muy grande positvo es un numero grande positivo

2) \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^2-2x}=(\infty)^2-2(\infty)=\infty - \infty \)

Aca ya no se que hacer, lo que hacia mecanicamente tanto como 1) y 2) era lo siguiente:

1) \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{2x^2+x+1}\sim{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}2x^2{}} \) ahora "sustituyo" \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{2x^2+x+1}\sim{2x^2}=+\infty \)

2) \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^2-2x}\sim{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}x^2{}}=+\infty \)

Básicamente tomaba el factor o monomio con el exponente mas grande, funciona, pero no se porque, busque en internet y no encontré nada que lo explique bien, tengo un vago recuerdo que habia que sacar factor común del factor que tenia mayor exponente, creo que era sin el coeficiente ejemplo:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^2-2x}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{+x^2(\displaystyle\frac{x^2}{x^2}-\displaystyle\frac{2x}{x^2})}=\infty(1-0)=+ \infty \)

Pero aqui hay otro problema, que pasa si saco factor comun x \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^2-2x}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x(\displaystyle\frac{x^2}{x}-\displaystyle\frac{2x}{x})}=\infty(\infty-2)=+\infty \)

Y bueno, da lo mismo, entonces no tengo ni idea de nada pues si sacabas factor comun el que tenia mayor exponente
y todo dentro del paréntesis daba números reales podría pensarse que solo importa el factor que esta afuera del partentesis pues
al multiplicar \infty(numeros reales)=\infty

otro ejemplo

3) \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{e^x+5x^3+2x+1} \) lo que yo hacia sin pensar mecanicamente es parecido a lo que dije anteriormente pero ver que factor tiene mayor orden, osea que va mas rápido al infinito
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{e^x+5x^3+2x+1}\sim{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{e^x}=+\infty} \)

¿Porque lo hago? ni idea me lo dijeron que lo haga así , sacando factor e^x sucede lo mismo que en ejemplos anteriores, pero sacando factor común x^3 también sucede exactamente lo mismo que en ejemplos anteriores (me refiero a que da el mismo resultado sacando factor común sea cual sea e^x o x^3)

4) \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{e^x+1}{x^3+2x+1}{} \) hago algo parecido que lo que dije anteriormente
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{e^x+1}{x^3+2x+1}{}\sim{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{e^x}{x^3}=+\infty}} \) y bueno el ultimo resultado fue ver el orden de \( e^x \) y \( x^3 \)

4.5) Pregunta extra, la propiedad del limite de un cociente que es el limite del numerador divido el limite del denominador solo funciona si el resultado de los 2 limites es un numero real? pues capaz sirve, pero no nos ayuda a sacar la indeterminación

PD: Busque en Precalculo y Calculo James Stewart, Tom Apostol Calculus,  calculo N. Piskunov, calculo spivak, analisis real lages lima y no encuentro nada que responda lo que pregunto aqui explican y demuestran propiedades de los limites con definición epsilon-delta que ya lo he aprendido, me interesa el calculo de limites, el único que encontré algo fue en el de james stewart pero no explicaba nada que no sepa

[Luis Fuentes]

Hola

 Pero antes da nada. ¿En algún momento de tu vida has estudiado de manera ordenada los límites de funciones: definición, ejemplos, límites de funciones elementales, propiedades, etcétera...?

 ¡Por qué es la forma de poder entender con fundamento todo lo que preguntas!

 Por ejemplo respecto a las preguntas que haces.

 1) Hay que saber la definición de \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f(x)=+\infty \). Es:

 para todo \( M>0 \) existe un \( k>0 \) tal que si \( x>k \) entonces \( f(x)>M \)

 La idea intutiva es que la función supera cualquier cota que fijemos siempre que tomemos valores de \( x \) suficientemente grande y por tanto "tiende a infinito" cuando la variable se hace grande.

2) A partir de ahí se prueba formalmente que \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}x=\infty \). Digamos que eso se hace "una vez en la vida".

3) Luego las propiedades de los límites. Cosas tipo: si  \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f(x)=+\infty \),  \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}h(x)=+\infty \) entonces:

 \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f(x)+g(x)=+\infty \).
 \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f(x)\cdot g(x)=+\infty \).
 \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f(x)^g(x)=+\infty \).
 \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}k\cdot g(x)=signo(k)\cdot \infty \) con \( k\neq 0 \)

4) Luego se usan esas propiedades combinadas con límites conocidos para conocer límites de otras funciones. Por ejemplo por lo visto en (2) y 3()

 \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}x^2=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}x\cdot x=+\infty \).

y en general:

 \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}x^n=+\infty \).

y en fin así otras cosas...

5) Luego ya se pueden enunciar teoremas más particulares relativos a tipos de funciones concretas: polínómicas por ejemplo.

 Con esto no pretendo resumir todo un capítulo de un libro de análisis sobre límites, sino dar una idea de como se estructura el estudio.

 Alguna observación a tus cuestiones concretas.

1) \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{2x^2+x+1}=2(+\infty)^2+(\infty)+1=+ \infty \)

 Aquí estamos usando que el límite de la suma de funciones cuyo límite es infinito vuelve a ser infinito.

2) \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^2-2x}=(\infty)^2-2(\infty)=\infty - \infty \)

 Esto no nos ayuda porque el límite de la RESTA de dos funciones con límite más infinito, a priori no podemos saber cuanto vale; podría no existir o dar cualquier valor. Entonces tiramos por otro caminio:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^2-2x}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{+x^2(\displaystyle\frac{x^2}{x^2}-\displaystyle\frac{2x}{x^2})}=\infty(1-0)=+ \infty \)

Pero aqui hay otro problema, que pasa si saco factor comun x \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^2-2x}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x(\displaystyle\frac{x^2}{x}-\displaystyle\frac{2x}{x})}=\infty(\infty-2)=+\infty \)

 ¿Cuál es el problema? Los dos están bien y dan lo mismo. Se usa (entre otras cosas) que el límite del producto de una función con límite más infinito y la otra una constante positiva (o también más infinito) es más infinito;

Pero lo fundamental es que te estudies con calma y de manera ordenada una exposición sobre teoría de límites y sobre ella preguntes, ahora si, las dudas.

Saludos.

[ancape]

Hola, se calcularlos pero en realidad no se porque funciona todo esto......

Hola
Básicamente, lo que expones está bien y se ve que has cogido bien el concepto de límites. Hay algunos detalles que te hacen pensar que operas mecánicamente. Voy a tratar de explicártelos.

En primer lugar, la definición usual de límite con la cantinela épsilon-delta no es aplicable al infinito. No se puede decir que un límite de \( f(x) \) es infinito pues la distancia del infinito a \( f(x) \) es menos que épsilon cuando \( x \) dista menos que delta del objetivo del límite. No vale pues la definición épsilon-delta en los casos \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)} \) ni \( \displaystyle\lim_{x \to{}a}{f(x)}=\infty \) cuando aparece \( \infty \) hay que adaptar la definición de límite (lo mismo que si preguntas a un niño de primaria el valor de \( 7^3 \) te reponderá haciendo la cuenta \( 7·7·7 \) pero si le preguntas por \( 7^{1/3} \), te mirará como si estuvieras loco). La definición se adaptó diciendo que un límite es más infinito cuando al acercarnos suficientemente al objetivo, obtenemos valores de \( f(x) \) tan grandes como queramos, que \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=a \) cuando nos acercamos tanto como queramos a \( a \) si \( x \) es suficientemente grande, y que \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=\infty \) cuando para obtener valores muy grandes de f(x) basta tomar \( x \) muy grande.

En este sentido es correcto tu razonamiento

1) \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{2x^2+x+1}=2(+\infty)^2+(\infty)+1=+ \infty \)

Esto se saca de pensar a \( x \) como un numero muy grande positivo, multiplicar por 2 un numero muy grande positvo da por resultado un numero muy grande positivo, sumar a dicho numero muy grande otro numero muy grande positvo es un numero grande positivo

Si no te piden de forma específica hallar un límite, sino que el cálculo forma parte de otro tipo de problema, razonar como has hecho antes, está bastante bien.

Si tienes alguna ambigüedad como restar infinito de infinito etc. lo mejor es que identifiques el término que con mayor fuerza se hace grande y lo saques como factor común tal como también has hecho antes.

Saludos

[feriva]

otro ejemplo

3) \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{e^x+5x^3+2x+1} \) lo que yo hacia sin pensar mecanicamente es parecido a lo que dije anteriormente pero ver que factor tiene mayor orden, osea que va mas rápido al infinito
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{e^x+5x^3+2x+1}\sim{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{e^x}=+\infty} \)

¿Porque lo hago? ni idea me lo dijeron que lo haga así

Pero ése tienes un argumento más sencillo, Nub, te sirve cualquier sumando menos el 1, por ejemplo:

\( {\displaystyle \lim_{x\to{+}\infty}{e^{x}+5x^{3}+2x+1}\sim{\displaystyle \lim_{x\to{+}\infty}{2x}=+\infty}} \)

¿Que cómo lo justifico?, pues diciendo que ningún sumando es negativo; con que haya uno que tienda a infinito, la suma tiende a infinito, da igual lo que valgan los otros.

Saludos.

[Nub]

otro ejemplo

3) \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{e^x+5x^3+2x+1} \) lo que yo hacia sin pensar mecanicamente es parecido a lo que dije anteriormente pero ver que factor tiene mayor orden, osea que va mas rápido al infinito
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{e^x+5x^3+2x+1}\sim{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{e^x}=+\infty} \)

¿Porque lo hago? ni idea me lo dijeron que lo haga así

Pero ése tienes un argumento más sencillo, Nub, te sirve cualquier sumando menos el 1, por ejemplo:

\( {\displaystyle \lim_{x\to{+}\infty}{e^{x}+5x^{3}+2x+1}\sim{\displaystyle \lim_{x\to{+}\infty}{2x}=+\infty}} \)

¿Que cómo lo justifico?, pues diciendo que ningún sumando es negativo; con que haya uno que tienda a infinito, la suma tiende a infinito, da igual lo que valgan los otros.

Saludos.

Bueno, pero \( {\displaystyle \lim_{x\to{+}\infty}{e^{x}-5x^{3}-2x+1}\sim{\displaystyle \lim_{x\to{+}\infty}{e^x}=+\infty}} \) y este es el resultado correcto si \( {\displaystyle \lim_{x\to{+}\infty}{e^{x}-5x^{3}-2x-1}\sim{\displaystyle \lim_{x\to{+}\infty}{-2x}=-\infty}} \) y da mal

[Juan Pablo Sancho]

\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^x -5x^3 -2x+1 = \lim_{x \to +\infty} e^x \cdot (1-\dfrac{5x^3}{e^x} - \dfrac{2x}{e^x} + e^{-x}) = +\infty \)

[Nub]

Pero antes da nada. ¿En algún momento de tu vida has estudiado de manera ordenada los límites de funciones: definición, ejemplos, límites de funciones elementales, propiedades, etcétera...?

Si, pero de forma rara, en resumen: Aprendí a calcular limites de forma mecánica sin saber la definición formal y ninguna intuición, luego me dedique a aprender "trucos" para sacar indeterminaciones, esos trucos ni se de donde salen, por eso estoy aquí, basicamente lo que hacia era remplazar, ver que indeterminación quedaba y ver que truco en la larga lista de estos podía usar

Sobre lo demas, un resumen de lo que entendí. Se demuestran limites de funciones elementales, ejemplo que \(  \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x}=+\infty \) , \(  \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{e^x}=+\infty \) , etc
Luego cuando te dan una suma/producto/composición de esas funciones elementales, lo que haces es aplicar la propiedad de los limites, el limite de la suma es la suma de los limites, etc

Ejemplo: \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^2+2x}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^2}+\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{2x} \)
Demostramos que \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^n=+\infty} \) y \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}k\cdot g(x)=signo(k)\cdot \infty \) usando esto queda
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^2+2x}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^2}+\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{2x}=\infty+\infty=\infty \) o en vez de \( \infty+\infty \) habíamos probado que \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f(x)=+\infty \) entonces \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f(x)+g(x)=+\infty \)

Y en cuanto a las indeterminaciones es  hacer una serie de manipulaciones a la funcion para poder aplicar las propiedades por ejemplo
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^2-2x}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^2}+\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{-2x}=\infty-\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^2-2x}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^2(1-\displaystyle\frac{2}{x})} \) y ahora puedo aplicar las propiedades como siempre
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^2-2x}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^2(1-\displaystyle\frac{2}{x})}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^2}+\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{1-\displaystyle\frac{2}{x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^2}+\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{1}+\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{-2}{x}}=+\infty \)
Bueno anteriormente deberiamos haber demostrado algo como \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a}{x}}=0 \) con \( a\in{R} \)

Hasta aca todo bien, lo único que me queda duda es lo que hacia yo por ejemplo \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^2-2x}\sim{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}x^2{}} \) (Tal vez es un teorema que se pude demostrar, puede ser literalmente limites equivalentes)

[Nub]

Hola, se calcularlos pero en realidad no se porque funciona todo esto......

Hola
Básicamente, lo que expones está bien y se ve que has cogido bien el concepto de límites. Hay algunos detalles que te hacen pensar que operas mecánicamente. Voy a tratar de explicártelos.

En primer lugar, la definición usual de límite con la cantinela épsilon-delta no es aplicable al infinito. No se puede decir que un límite de \( f(x) \) es infinito pues la distancia del infinito a \( f(x) \) es menos que épsilon cuando \( x \) dista menos que delta del objetivo del límite. No vale pues la definición épsilon-delta en los casos \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)} \) ni \( \displaystyle\lim_{x \to{}a}{f(x)}=\infty \) cuando aparece \( \infty \) hay que adaptar la definición de límite (lo mismo que si preguntas a un niño de primaria el valor de \( 7^3 \) te reponderá haciendo la cuenta \( 7·7·7 \) pero si le preguntas por \( 7^{1/3} \), te mirará como si estuvieras loco). La definición se adaptó diciendo que un límite es más infinito cuando al acercarnos suficientemente al objetivo, obtenemos valores de \( f(x) \) tan grandes como queramos, que \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=a \) cuando nos acercamos tanto como queramos a \( a \) si \( x \) es suficientemente grande, y que \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=\infty \) cuando para obtener valores muy grandes de f(x) basta tomar \( x \) muy grande.

Si, en cuanto la definición epsilon-delta básicamente me refería a la formal

[ani_pascual]

Hola:

Hasta aca todo bien, lo único que me queda duda es lo que hacia yo por ejemplo \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^2-2x}\sim{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}x^2{}} \) (Tal vez es un teorema que se pude demostrar, puede ser literalmente limites equivalentes)

Se trata de las llamadas funciones infinitos equivalentes; es decir, que tienden a infinito y que cumplen \( \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=1 \), y se escribe \( f(x)\sim g(x) \) cuando \( x\to +\infty \).
Entonces, a la hora de calcular, por ejemplo, un límite en el que aparece una de las funciones en forma de factor, se puede sustituir por la otra \( \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{f(x)}{h(x)}=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{f(x)\cdot g(x)}{h(x)\cdot g(x)}=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}\cdot \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{g(x)}{h(x)}=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{g(x)}{h(x)} \). En el caso de tu ejemplo, \( f(x)=x^2-2x\sim g(x)=x^2 \) cuando \( x\to +\infty \), luego \( \lim\limits_{x\to \infty}x^2-2x=\lim\limits_{x\to \infty}(x^2-2x)\cdot\dfrac{x^2}{x^2}=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x^2-2x}{x^2}\cdot x^2=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x^2-2x}{x^2}\cdot \lim\limits_{x\to \infty}x^2=1\cdot \lim\limits_{x\to \infty}x^2=\lim\limits_{x\to \infty}x^2 \)
Saludos

[ani_pascual]

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^2-2x}\textcolor{red}{\sim}{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}x^2{}} \) (Tal vez es un teorema que se pude demostrar, puede ser literalmente limites equivalentes)

Por cierto, ese símbolo marcado en rojo, en realidad es un \( = \); me parece que en los textos lo usan así: \( x^2-2x\sim x^2 \) si \( x\to +\infty \)
Saludos