Hola a todos.
Revisando a do Carmo y unas páginas que adjunto (son solo 3 hojas) me encontré lo siguiente: En do Carmo la primera y segunda forma fundamental considerando la carta \( x: U\subset \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{3} \) vienen dadas de la siguiente manera respectivamente:
\( \mathbb{I}_{p}(v)=\langle v,v\rangle = E (u^{\prime})^{2} + 2F u^{\prime} v^{\prime} + G (v^{\prime})^{2} \),
donde \( E= \langle x_{u},x_{u}\rangle \), \( F=\langle x_{u},x_{v}\rangle \), \( G= \langle x_{v},x_{v}\rangle \).
\( \mathbb{II}_{p}(v)= \langle dN_{P}(v),v\rangle = e(u^{\prime})^{2} + 2f u^{\prime} v^{\prime} + g(v^{\prime})^{2} \).
donde \( e= -\langle N_{u},x_{u}\rangle \), \( f=-\langle N_{u},x_{v}\rangle \), \( g= -\langle N_{v},x_{v}\rangle \)
Las cuales me sirven para medir el tamaño de los vectores en el plano tangente \( T_{p}S \) y la curvatura de la 2-variedad respectivamente.
Ahora, leyendo al autor del texto adjunto el define una primera y segunda forma fundamental (formas de Kummer) de la misma manera pero
\( E= \langle \xi_{u},\xi_{u}\rangle \), \( F=\langle \xi_{u},\xi_{v}\rangle \), \( G= \langle \xi_{v},\xi_{v}\rangle \),
donde \( \xi:U\to \mathbb{R}^{2} \) es um campo suave no necesariamente normal a la superficie.
Ademas tenemos
\( e= -\langle \xi_{u},x_{u}\rangle \), \( M_{1}=-\langle x_{v}, \xi_{u}\rangle \), \( M_{2}=-\langle x_{u}, \xi_{v}\rangle \) \( g= -\langle \xi_{v},x_{v}\rangle \) y \( f=M_{1} +M_{2} \).
Mi pregunta es: si las primeras formas expuestas miden lo antes dicho, ¿Estas nuevas que miden?
Es mas, para las formas (tradicionales) se llega a ecuación que me permite hallar las lineas de curvatura de una superficie, las cuales por lo regular uno dibuja como si fueran las curvas dadas por las secciones transversales (eso creo) usando que cualquier par de curvas que pasa por un punto \( p\in S \) y un vector \( v\in T_{p}S \) tienen la misma curvatura normal (Teorema de Meusnier). ver elipsoide de Monge.
Las formas de Kummer tambien me permiten establecer una ecuación que me permite hacer una foliación para cualquier superfice ver ecuacón 3.19 en el texto adjunto, mas mi duda ahora es a quien tomo por linea de Kummer para hacer la foliación como fue hecho en el elipsiode, dado que no tengo certeza de que se cumpla el Teorema de Meusnier.
Muchas gracias por la atención.
