Autor Tema: Suponga que f es difeomorfismo...

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01 Junio, 2008, 05:04 am
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sapato

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Uno mas.   
 Suponga que \( f:S_1\rightarrow{S_2} \) es un difeomorfismo entre superficies que es conforme y equireal. Muestre que \( f \) es una isometría, esto es, existen sistemas de coordenadas alrededor de los puntos correspondientes sobre la superficie con \( ds_1=ds_2 \).
   

02 Junio, 2008, 09:51 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 La idea es esta.

 Por ser "equiareal" (conserva áreas) preserva el determinante de la primera forma fundamental.

 Por ser conforme (conserva ángulos), las primeras formas fundamentales son una múltiplo de la otra.

 Combinando ambas cosas se llega a que la primera forma fundamental de ambas coincide.

 Los detalles son más o menos largos o cortos, según los resultados previos que manejes.

Saludos.

23 Mayo, 2011, 11:14 pm
Respuesta #2

hupavi

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Hola

yo tengo una duda, si el difeomorfismo es conforme, se puede probar que conserva los angulos, es decir que  \( \displaystyle\frac{F}{\sqrt[ ]{EG}}=\displaystyle\frac{F^{\prime}}{\sqrt[ ]{E^{\prime}G^{\prime}}} \), de ahi se puede concluir que \( F=F^{\prime} \) y \( EG=E^{\prime}G^{\prime} \) bueno usando que el determinate de la primera forma coincide, cual seria el paso a seguir para poder concluir que \( E=E^{\prime} \) y \( G=G^{\prime} \).

24 Mayo, 2011, 12:46 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Que conserva ángulos no significa sólo que:

\( \displaystyle\frac{F}{\sqrt[ ]{EG}}=\displaystyle\frac{F^{\prime}}{\sqrt[ ]{E^{\prime}G^{\prime}}} \)

 Eso simplemente significa que el ángulo entre las curvas paramétricas es el mismo; que conserva ángulos significa que para cualquier para de vectores \( u,v \) se cumple que:

\(  \dfrac{u^tIv}{\sqrt{u^tIuv^tIv}}=\dfrac{u^tI'v}{\sqrt{u^tI'uv^tI'v}} \)

 siendo:

\(  I=\begin{pmatrix}{E}&{F}\\{F}&{G}\end{pmatrix},\quad  I'=\begin{pmatrix}{E'}&{F'}\\{F'}&{G'}\end{pmatrix} \)

 De ahí deduce que \( I=kI' \).

Saludos.