Hola,
(1) Supongamos en el anillo de los enteros de Eisenstein \( \mathbb{Z}(\omega) \) , para \( \omega=(-1+\sqrt{-3})/2 \) , la raíz primitiva tercera de la unidad; la siguiente ecuación: \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) , donde \( \alpha,\beta,\gamma \) son coprimos entre sí.
(2) Sabemos por este Lema 3 de Carlos Ivorra, que si \( \lambda\nmid\alpha' \) , para un \( \alpha' \) elemento de \( \mathbb{Z}(\omega) \) , entonces \( \alpha'\,^3\equiv\pm 1 \) mod \( 9 \) . Si \( 9 \) no divide a ninguno de los términos de la ecuación de partida, entonces \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\not\equiv\pm 1\pm 1\pm 1\equiv 0 \) mod \( 9 \) . Luego \( 9 \) debe dividir a uno de los cubos. Supongamos que sea \( \gamma^3 \) .
(3) Como en \( \mathbb{Z}(\omega) \) , \( 3 \) es igual á \( -\omega^2\lambda^2 \) -y- por tanto \( 9=\omega\lambda^4 \) , siendo \( \pm\omega^{1,2} \) unidades de este anillo -y- \( \lambda \) el primo \( 1-\omega \) . Y tenemos que: \( -\gamma^3=\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)((\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta) \) , donde estos dos últimos factores son coprimos salvo por \( 3 \) -y- \( 3 \) , como mínimo, y por tanto \( \lambda^{2} \) , deben dividir á \( \alpha+\beta \) . Será que \( \lambda^{k+1} \) , para \( k\in{N^+} \) , divide á \( \gamma \) , -y- así: \( e_1^3\cdot\lambda^{3k+3} \) dividirá á \( -\gamma^3 \) ; \( e_2\cdot\lambda^{3k+1} \) dividirá á \( \alpha+\beta \) -y- sólo \( 3=-\omega^2\cdot\lambda^2 \) dividirá á: \( (\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta \) , para \( e_{1,2} \) unidades del anillo.
(4) Sabemos que todas estas unidades al cubo son de la forma \( \pm 1 \) . Por tanto tendremos, sin perder generalidad, que \( -\gamma^3=-\lambda^{3k+3}\gamma'\,^3 \) , \( \alpha+\beta=\omega\lambda^{3k+1}\delta^3 \) -y- \( (\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta=-\omega^2\lambda^2\eta^3 \) , para unos \( \delta,\eta \) enteros de Eisenstein coprimos entre sí -y- \( \omega\cdot (-\omega^2)=-1 \) . De esta forma \( \dfrac{\alpha+\beta}{\lambda}=\omega\delta'\,^3 \) -y- \( \dfrac{(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta}{\lambda^2}=-\omega^2\eta^3 \) serán coprimos y terceras potencias (salvo unidades).
(5) Luego: \( \dfrac{(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta}{-\omega^2\lambda^2}=\dfrac{(\alpha+\beta\omega)(\alpha+\beta\omega^2)}{-\omega^2\lambda^2} \) . Donde \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda} \) -y- \( \dfrac{\alpha+\beta\omega^2}{-\omega^2\lambda} \) serán coprimos y terceras potencias también, salvo unidades. Pues de la suma de: \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}+\dfrac{\alpha+\beta\omega^2}{\lambda}=\dfrac{2\alpha+\beta(\omega+\omega^2)}{\lambda}=\dfrac{2\alpha-\beta}{\lambda} \) , ya que \( \omega+\omega^2=-1 \) . Y de su diferencia: \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}-\dfrac{\alpha+\beta\omega^2}{\lambda}=\dfrac{\beta(\omega-\omega^2)}{\lambda}=\dfrac{\beta\omega(1-\omega)}{\lambda}=\beta\omega \) . Se desprende que no tienen ningún divisor en común, pues \( \alpha \) -y- \( \beta \) son coprimos; \( \beta \) no es par, porque si no ambos factores: \( \left(\dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}\right)\cdot\left(\dfrac{\alpha+\beta\omega^2}{\lambda}\right) \) , serían coprimos salvo por \( 2 \) -y- \( 4 \) debería dividir á \( (\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta=\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta \) que no puede ser par y por último: \( \lambda \) divide á \( 2\alpha-\beta \) porque divide á \( \alpha+\beta \) .
(6) Resalto que la unidad real, en este caso \( \pm 1 \) , que tomo sin perder generalidad como \( 1 \) , es la única que asocio al factor \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda} \) . Esto mismo haré en el caso del UTF5, que expondré a continuación como prueba de un razonamiento general por inducción.
(7) Ahora hay que demostrar que en \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}=\epsilon_1\mu_1^3 \) , para un cubo \( \mu_1^3 \) de \( \mathbb{Z}(\omega) \) , la unidad \( \epsilon_1 \) es de la forma \( \pm 1 \) . Tenemos que \( \dfrac{(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta}{3}=\eta^3 \) es una tercera potencia perfecta. Luego: \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}\cdot\dfrac{\alpha+\beta\omega^2}{-\omega^2\lambda}=\epsilon_1\mu_1^3\epsilon_2\mu_2^3=\eta^3 \) , para \( \mu_2^3 \) un cubo de de \( \mathbb{Z}(\omega) \) -y- \( \epsilon_1\cdot\epsilon_2=1 \) -tomando sin perder generalidad sólo los valores positivos.
(8) Como \( \dfrac{\alpha-\beta\omega}{-\omega^2\lambda}=\dfrac{-\alpha\omega-\beta}{\lambda} \) . Si hago esta suma: \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}+\dfrac{-\alpha\omega-\beta}{\lambda}=\dfrac{\alpha-\beta+(\beta-\alpha)\omega}{\lambda}=\dfrac{\alpha-\beta(1-\omega)}{\lambda}=\alpha-\beta \) . Tendré que: \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}+\dfrac{\alpha-\beta\omega^2}{-\omega^2\lambda}=\alpha-\beta \) -y- \( \epsilon_1\mu_1^3+\epsilon_2\mu_2^3=\alpha-\beta \) . Pero como a la derecha de la igualdad no hay unidades, \( \epsilon_1 \) -y- \( \epsilon_2 \) deben estar integradas en los respectivos cubos y ser terceras potencias y por lo tanto de la forma \( \pm 1 \) .
(9) Hacemos ahora esta resta: \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}-\dfrac{\alpha+\beta\omega^2}{-\omega^2\lambda}=\dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}-\dfrac{-\alpha\omega-\beta}{\lambda}=\dfrac{\alpha+\beta}{\lambda}(1+\omega) \) , porque \( \dfrac{1}{-\omega^2}=-\omega \) . Y nos encontramos con lo siguiente; por una parte: \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda} \) -y- \( -\dfrac{\alpha\omega+\beta}{\lambda} \) son dos terceras potencias perfectas en \( \mathbb{Z}(\omega) \) -y- por otra: \( \dfrac{\alpha+\beta}{\lambda}(1+\omega)=\dfrac{\omega\lambda^{3k+1}\delta^3}{\lambda}(1+\omega) \) . Y si seguimos desarrollando: \( \dfrac{\omega\lambda^{3k+1}\delta^3}{\lambda}(1+\omega)=\dfrac{\omega\lambda^{3k+1}\delta^3}{\lambda}(-\omega^2)=-\lambda^{3k}\delta^3 \) . Es decir, otro cubo perfecto en \( \mathbb{Z}(\omega) \) . Por lo que tenemos que si: \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}=\alpha'\,^3 \) , \( -\dfrac{\alpha\omega+\beta}{\lambda}=-\beta'\,^3 \) -y- \( -\lambda^{3k}\delta^3=-\gamma''\,^3 \) ; será que: \( \alpha'\,^3+\beta'\,^3+\gamma''\,^3=0 \) . Pero ahora sólo \( \lambda^{3k} \) divide á \( \gamma''\,^3 \) .
(10) Si aplicamos todo este razonamiento a esta última ecuación y lo repetimos una y otra vez, nos llevará a un descenso infinito de potencias de \( \lambda \) , que será múltiplo siempre de uno de los cubos de una suma de tres igual a cero en \( \mathbb{Z}(\omega) \) -y- donde a su vez el valor de \( k \) tenderá a hacerse indeterminadamente grande.
(11) Supongamos ahora en el anillo \( \mathbb{Z}(\zeta_5) \) , para \( \zeta_5 \) la raíz primitiva quinta de la unidad; la siguiente ecuación: \( \alpha^5+\beta^5+\gamma^5=0 \) , donde \( \alpha,\beta,\gamma \) son coprimos entre sí.
(12) Conocemos (Keith Conrad) que módulo \( 5 \) : \( \alpha^5+\beta^5+\gamma^5=0 \) , es como si fuera \( a+b+c=0 \) , donde \( a,b,c \) serían enteros usuales. Pero si \( 5 \) no divide a ninguna de las quintas potencias, entonces como:
\( -\alpha^5=\beta^5+\gamma^5=(\beta+\gamma)((\beta+\gamma)^4-5\beta\gamma((\beta+\gamma)^2-\beta\gamma) \)
\( -\beta^5=\alpha^5+\gamma^5=(\alpha+\gamma)((\alpha+\gamma)^4-5\alpha\gamma((\alpha+\gamma)^2-\alpha\gamma) \)
\( -\gamma^5=\alpha^5+\beta^5=(\alpha+\beta)((\alpha+\beta)^4-5\alpha\beta((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta) \)
Y : \( \beta+\gamma \) , \( \alpha+\gamma \) -y- \( \alpha+\beta \) serán quintas potencias (\( e\mu'\,^5 \)) , para \( e \) una unidad; serán congruentes en parte con un entero usual módulo \( 5 \) , pongamos que respectivamente: \( a\cdot e_1 \) , \( b\cdot e_2 \) -y- \( c\cdot e_3 \) .
Pero entonces: \( -\alpha^5=(\beta+\gamma)((\beta+\gamma)^4-5\beta\gamma((\beta+\gamma)^2-\beta\gamma)\equiv(\beta+\gamma)^5\equiv (a\cdot e_1)^5 \) mod \( 5 \) -y- \( -\alpha^5\equiv a^5e_1^5 \) mod \( 5 \) , para una unidad real, de haberla (\( e_1 \)) -pero sólo puede ser imaginaria (\( \zeta^{r5}=1 \)) porque su producto con la posible unidad del otro factor debe ser igual á \( 1 \) ; \( -\beta^5\equiv(\alpha+\gamma)^5 \) mod \( 5 \) -y- \( -\beta^5\equiv b^5 \) mod \( 5 \) -y- \( -\gamma^5\equiv(\alpha+\beta)^5 \) mod \( 5 \) -y- \( -\gamma^5\equiv c^5 \) mod \( 5 \) . Por lo que tendremos en realidad que \( \alpha^5+\beta^5+\gamma^5\equiv a^5+b^5+c^5\equiv 0 \) mod \( 5 \) . Donde podemos aplicar el Teorema de Sophie Germain que dice que en este caso al menos una de las quintas potencias sí es divisible por \( 5 \) contraviniendo el punto de partida. Supongamos que sea \( \gamma^5 \) .
(13) Como en \( \mathbb{Z}(\zeta_5) \) , \( 5 \) es igual á \( (\zeta+\zeta^2)^2\lambda^4 \) , siendo \( (\zeta+\zeta^2)^2 \) una unidad de este anillo -y- \( \lambda \) el primo \( 1-\zeta \) . Y además: \( -\gamma^5=\alpha^5+\beta^5=(\alpha+\beta)((\alpha+\beta)^4-5\alpha\beta((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta) \) . Donde estos dos últimos factores son coprimos salvo por \( 5 \) . Entonces \( 5 \) , como mínimo, y por tanto \( \lambda^{4} \) , deben dividir á \( \alpha+\beta \) . Por lo que en definitiva \( 25 \) , como mínimo, -y- \( \lambda^{8} \) divide en realidad á \( -\gamma^5 \) . Lo que significa que por lo menos \( \lambda^{k+1} \) , para \( k\in{N^+} \) , divide á \( \gamma \) , -y- así: \( e_1^5\cdot\lambda^{5k+5} \) dividirá á \( -\gamma^5 \) ; \( e_2\cdot\lambda^{5k+1} \) dividirá á \( \alpha+\beta \) -y- sólo \( 5=(\zeta+\zeta^2)^2\cdot\lambda^4 \) dividirá á: \( (\alpha+\beta)^4-5\alpha\beta((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta) \) , para \( e_{1,2} \) unidades del anillo.
(14) Sabemos (Carlos Ivorra) que todas las unidades \( (e) \) de este anillo son de la forma \( e=\pm\zeta^m\varepsilon^n \) , para \( \varepsilon=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=-\zeta^3-\zeta^2 \) (la unidad real); \( m=0,1,2,3,4 \) -y- \( n \) un entero. Luego \( e_1^5 \) será igual á \( \varepsilon^{5q} \) , para un \( q\in\mathbb{N^+} \) , -y- \( e_2=\zeta^2\varepsilon^{5q-2} \) ; ya que la unidad \( (\zeta+\zeta^2)^2 \) es de esta forma: \( \zeta^3\varepsilon^2 \) -y- debe darse que: \( \varepsilon^{5q}=\zeta^2\varepsilon^{5q-2}\cdot\zeta^3\varepsilon^2 \) .
(15) Tendremos pues que \( \dfrac{\alpha+\beta}{-\zeta^2\varepsilon^{5q-2}\lambda} \) -y- \( \dfrac{(\alpha+\beta)^4-5\alpha\beta((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta)}{\zeta^3\varepsilon^2\lambda^4=5} \) serán coprimos y quintas potencias perfectas.
Y como \( \dfrac{(\alpha+\beta)^4-5\alpha\beta((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta)}{\zeta^3\varepsilon^2\lambda^4}=\dfrac{(\alpha+\beta\zeta)(\alpha+\beta\zeta^2)(\alpha+\beta\zeta^3)(\alpha+\beta\zeta^4)}{\zeta^3\varepsilon^2\lambda^4} \) .
Si: \( -\epsilon^{5q}\lambda^{5k+5}\gamma'\,^5=(\alpha+\beta)(\alpha+\beta\zeta)(\alpha+\beta\zeta^2)(\alpha+\beta\zeta^3)(\alpha+\beta\zeta^4) \) ; entonces:
\( -\lambda^{5k}\gamma'\,^5=\left(\dfrac{\alpha+\beta}{-\zeta^2\varepsilon^{5q-2}\lambda}\right) \left(\dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda}\right) \left(\dfrac{\alpha+\beta\zeta^2}{\zeta^2\varepsilon^{-3}\lambda}\right) \left(\dfrac{\alpha+\beta\zeta^3}{\zeta^2\varepsilon^{-3}\lambda}\right) \left(\dfrac{\alpha+\beta\zeta^4}{\zeta^4\varepsilon^4\lambda}\right) \) .
Pues en los cuatro últimos factores tendremos que \( \varepsilon^4\cdot\varepsilon^{-3}\cdot\varepsilon^{-3}\cdot\varepsilon^4=\varepsilon^2 \) -y- \( \zeta^2\cdot\zeta^2\cdot\zeta^4=\zeta^3 \) .
(16) Ahora hay que demostrar que: \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda} \) , \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^2}{\zeta^2\varepsilon^{-3}\lambda} \) , \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^3}{\zeta^2\varepsilon^{-3}\lambda} \) -y- \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^4}{\zeta^4\varepsilon^4\lambda} \) son quintas potencias salvo unidades. No es difícil deducir que los factores \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\lambda} \) , \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^2}{\lambda} \) , \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^3}{\lambda} \) -y- \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^4}{\lambda} \) son coprimos. Veámoslo. Por una parte, de la suma de estos términos dos a dos: \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^r}{\lambda}+\dfrac{\alpha+\beta\zeta^s}{\lambda}=\dfrac{2\alpha+\beta(\zeta^r+\zeta^s)}{\lambda} \) , para unos \( r,s \) definidos entre \( 1 \) -y- \( 4 \) (incluidos) -y- \( r<s \) , donde \( \zeta^r+\zeta^s \) es una unidad. Por otra parte, de su diferencia: \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^r}{\lambda}-\dfrac{\alpha+\beta\zeta^s}{\lambda}=\dfrac{\beta(\zeta^r-\zeta^s)}{\lambda} \) ; donde siempre se dará: \( \dfrac{\beta\cdot e\cdot(1-\zeta)}{\lambda}=e\beta \) , para \( e \) una unidad del anillo. Luego se desprende que entre los respectivos ambos términos (de las sumas y las restas) no hay ningún factor en común. Pues primero hay que tener en cuenta que en las sumas, el numerador: \( 2\alpha+\beta(\zeta^r+\zeta^s)\equiv 2(\alpha+\beta) \) , al ser \( \zeta\equiv 1 \) mod \( \lambda \) -y- \( \lambda \) , del denominador, dividirá á \( \alpha+\beta \) -y- segundo, que \( \beta \) no es par, porque si no los factores \( \left(\dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\lambda}\right)\cdot\left(\dfrac{\alpha+\beta\zeta^2}{\lambda}\right)\cdot\left(\dfrac{\alpha+\beta\zeta^3}{\lambda}\right)\cdot\left(\dfrac{\alpha+\beta\zeta^4}{\lambda}\right) \) serían coprimos salvo por \( 2 \) -y- \( 16 \) dividiría á \( (\alpha+\beta)^4-5\alpha\beta((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta) \) que no puede ser par.
(17) Como \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda}=e_1\mu_1^5 \) , para una quinta potencia \( \mu_1^5 \) de \( \mathbb{Z}(\zeta_5) \) , tenemos que averiguar de qué forma es la unidad \( e_1 \) . Vimos que \( \dfrac{(\alpha+\beta)^4-5\alpha\beta((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta)}{\zeta^3\varepsilon^2\lambda^4} \) es una quinta potencia perfecta (\( \eta^5 \)) . Luego: \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda}\cdot\dfrac{\alpha+\beta\zeta^2}{\zeta^2\varepsilon^{-3}\lambda}\cdot\dfrac{\alpha+\beta\zeta^3}{\zeta^2\varepsilon^{-3}\lambda}\cdot\dfrac{\alpha+\beta\zeta^4}{\zeta^4\varepsilon^4\lambda}=e_1\mu_1^5\cdot e_2\mu_2^5\cdot e_3\mu_3^5\cdot e_4\mu_4^5=\eta^5 \) , para \( e_1\cdot e_2\cdot e_3\cdot e_4=1 \) -tomando sin perder generalidad sólo los valores positivos.
(18) Al ser \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^4}{\zeta^4\varepsilon^4\lambda}=\dfrac{\alpha\zeta+\beta}{\varepsilon^4\lambda} \) . Si hago esta resta: \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda}-\dfrac{\alpha\zeta+\beta}{\varepsilon^4\lambda}=\dfrac{\alpha-\beta+(\beta-\alpha)\zeta}{\varepsilon^4\lambda}=\epsilon^{-4}(\alpha-\beta) \) . Tendré que \( e_1\mu_1^5+e_2\mu_4^5=\varepsilon^{-4}(\alpha-\beta) \) -y- por lo tanto: \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\lambda}=\varepsilon^{4}\mu_1^5 \) -y- \( \dfrac{\alpha\zeta+\beta}{\lambda}=\varepsilon^4\mu_4^5 \) . Y entonces: \( \mu_1^5+\mu_4^5=\varepsilon^{-4}(\alpha-\beta) \) . Por lo que \( \varepsilon^4\mu_1^5+\varepsilon^4\mu_4^5=(\alpha-\beta) \) . Y las unidades serán: \( e_1=e_2=\varepsilon^4 \) .
(19) Si hacemos a continuación esta suma: \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda}+\dfrac{\alpha+\beta\zeta^4}{\zeta^4\varepsilon^4\lambda}=\dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda}+\dfrac{\alpha\zeta+\beta}{\varepsilon^4\lambda}=\dfrac{\alpha+\beta}{\varepsilon^4\lambda}(1+\zeta) \) . Nos encontraremos entonces con lo siguiente; por un lado: \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda} \) -y- \( \dfrac{\alpha\zeta+\beta}{\varepsilon^4\lambda} \) serán dos quintas potencias perfectas en \( \mathbb{Z}(\zeta_5) \) -y- por otro: \( \dfrac{\alpha+\beta}{\varepsilon^4\lambda}(1+\zeta)=\dfrac{\zeta^2\varepsilon^{5q-2}\lambda^{5k+1}\delta^5}{\varepsilon^4\lambda}(1+\zeta) \) , para un \( \delta^5 \) divisor de \( \gamma'\,^5 \) . Y como además \( 1+\zeta=-\varepsilon\zeta^3 \) . Si seguimos desarrollando: \( \dfrac{-\zeta^2\varepsilon^{5q-2}\lambda^{5k+1}\delta^5}{\varepsilon^4\lambda}(\varepsilon\zeta^3)=-\varepsilon^{5q-5}\lambda^{5k}\delta^5 \) . Es decir, otra quinta potencia perfecta en \( \mathbb{Z}(\zeta_5) \) . Por lo que tenemos que si: \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda}=\alpha'\,^5 \) , \( \dfrac{\alpha\zeta+\beta}{\varepsilon^4\lambda}=\beta'\,^5 \) -y- \( -\varepsilon^{5q-5}\lambda^{5k}\delta^5=-\gamma''\,^5 \) ; será que: \( \alpha'\,^5+\beta'\,^5+\gamma''\,^5=0 \) . Pero ahora sólo \( \lambda^{5k} \) divide á \( \gamma''\,^5 \) .
(20) Luego estamos, por tanto, ante un descenso infinito si repetimos este razonamiento una y otra vez sobre las ecuaciones resultantes. Y si seguimos este mismo esquema de los casos expuestos del UTF3 y UTF5, se puede generalizar la demostración a todo UTFp, para un \( p>5 \) primo regular que divida a una de las potencias, en el sentido de la condición impuesta por Kummer: Que si \( \mathfrak{a}^p \) es un ideal principal, entonces \( \mathfrak{a} \) también lo sea (Carlos Ivorra (2)).
Luis, ¿te ha dado lugar a echarle un vistazo a esto?
Gracias de antemano. Un saludo
