Te has dado cuenta con mayor clarividencia que yo cuál era la solución.
Lo que uso de forma sistemática es que \(r\preceq_n s\) si y sólo si \(\gcd(n,r)\,|\,s\).
Con eso, creo que sale muy rápido lo que vos decís, argumentando así:
Si \(\gamma\) es un \(\mathbb Z_n\)-divisor común de \(a,b\),
entonces \(\gcd(n,\gamma) \,|\,\gcd(a,b)\), porque divide a ambos, \(a,b\).
Pero es obvio que el lado izquierdo es también divisor de \(n\), trivialmente.
Por lo tanto, ahora \(\gcd(n,\gamma)\,\|\,\gcd(n,\gcd(a,b)) = \gcd(n,a,b)\).
Pero también \(\gamma = g=\gcd(n,a,b)\) es uno de los valores de \(\mathbb Z_n\)
que es \(\mathbb Z_n\)-divisor de \(a,b\),
porque \(\gcd(n,g) = g\,|\,\gcd(a,b)\).
Pero \(g\) es maximal, porque para todo otro divisor común \(\lambda\)
teníamos que \(\lambda\preceq_n g\).
La duda que me queda es sobre otros posibles valores de \(\gamma\)
que pudieran cumplir lo mismo.
Descartando el caso de multipilcar \(g\) por una unidad,
¿qué pasaría con otros posibles divisores \(\gamma\)?
Si \(\gamma\) es coprimo con \(n\), es una unidad.
Así que ese caso no lo analizamos.
¿Qué pasa si \(\gamma\) es coprimo con \(g\) pero no con \(n\)?
Tendríamos que hay algún primo \(p\) que divide a \(\gcd(n,\gamma)\),
que no divide a \(\gcd(a,b)\), pero entonces \(\gamma\) no puede
ocurrir que \(\gcd(n,\gamma)\,|\,\gcd(a,b)\), y así no es \(\mathbb Z_n\)-divisor común de \(a,b\).
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Ya me estoy convenciendo de que esto va bien, y que este es el camino.
Lo que me llama la atención, entre otras cosas,
es que hay muchos papers que hablan en general de GCD y LCM en anillos,
pero el lenguaje usado es tan abstracto que me pierdo,
y no logro darme cuenta si el caso de \(\mathbb Z_n\)
aparece abarcado como cosa ya "obvia" o "trivial" o "por demás conocida"
y que no vale la pena ni mencionar de lo nimio que es.
O por el contrario, los investigadores se han enfocado en ciertos tipos de anillo (DFU por ejemplo), que no abarcan a los \(\mathbb Z_n\).
Aún si no estuviera publicado, parece un ejercicio no muy difícil de álgebra,
que a lo mejor los algebristas piensan que no vale la pena poner en una publicación.
Pero me ha dado inseguridad, no sólo por estar oxidado en Álgebra,
sino que no he visto escrito los resultados en ninguna parte, ni como para tener una guía.
Antes de ponerme a hacer las cuentas no tenía idea de qué me podía encontrar.
