[Gabe]

Hola, estoy teniendo problemas al entender aspectos teóricos, busco explicaciones sencillas sin mucho tecnicismo para poder entenderlo.

El libro que estoy leyendo explica que el teorema de valor medio (Lagrange) puede verse también en un espacio en R3 para n variables. Pero no lo logro entender, eh buscado mas información en la web pero no puedo conseguir nada que me ayude.



A partir de acá las dudas son mas puntuales.

¿Porqué \( (x,y)\rightarrow{(+\infty,2)} \) es un infinitésimo de \( z=\displaystyle\frac{17}{xy} \) ?



Acá no logro entender de donde saca el valor de \(  \triangle{x}  \) para formar la tabla de valores , lo demás lo entiendo. ¿De donde salen \( 0,1 ; 15 ; 2 ;0,01 ;1 \)?



Gracias y saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, estoy teniendo problemas al entender aspectos teóricos, busco explicaciones sencillas sin mucho tecnicismo para poder entenderlo.

El libro que estoy leyendo explica que el teorema de valor medio (Lagrange) puede verse también en un espacio en R3 para n variables. Pero no lo logro entender, eh buscado mas información en la web pero no puedo conseguir nada que me ayude.

Si tienes una función \( f:\Bbb R^n\to \Bbb R \) continua y diferenciable, dados \( a,b\in \Bbb R^n \) el Teorema de Lagrange dirá que hay un punto \( c \) en el segmento que une \( a \) y \( b \) tal que:

\( f(b)-f(a)=df_c(b-a) \)

Se deduce del Teorema de Lagrange en una variable considerando la restricción de la función dada al segmento que une \( a,b \):

\( g:[0,1]\to \Bbb R,\quad g(t)=f((1-t)a+tb) \)

Fíjate que \( g(0)=f(a),\quad g(1)=f(b) \). Por el Teorema de Lagrange existe \( s\in (0,1) \) tal que:

\( g(1)-g(0)=g'(s) \)

Pero por la regla de la cadena:

\( g'(s)=df_{\underbrace{(1-s)a+sb)}_c}(b-a) \)

A partir de acá las dudas son mas puntuales.

¿Porqué \( (x,y)\rightarrow{(+\infty,2)} \) es un infinitésimo de \( z=\displaystyle\frac{17}{xy} \) ?

¡Es comprobar la definición!. Tienes que \( z=f(x,y) \) es un infinitésimo para \( (x,y)\to (x_0,y_0) \) si \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}{}f(x,y)=0 \).

En el ejemplo:

 \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to (2,+\infty)}{}\dfrac{17}{xy}=0 \)

y por eso \( z=\dfrac{17}{xy} \) es un infinitésimo para \( (x,y)\to (2,+\infty) \)

Acá no logro entender de donde saca el valor de \(  \triangle{x}  \) para formar la tabla de valores , lo demás lo entiendo. ¿De donde salen \( 0,1 ; 15 ; 2 ;0,01 ;1 \)?

Son valores que se eligen arbitrariamente como parte del ejemplo; podrían valer otros cualesquiera.

Saludos.

CORREGIDO (gracias ani_pascual)

[Gabe]

Si tienes una función \( f:\Bbb R^n\to \Bbb R \) continua y diferenciable, dados \( a,b\in \Bbb R^n \) el Teorema de Lagrange dirá que hay un punto \( c \) en el segmento que une \( a[tex] y [tex]b \) tal que:

\( f(b)-f(a)=df_c(b-a) \)

Se deduce del Teorema de Lagrange en una variable considerando la restricción de la función dada al segmento que une \( a,b \):

\( g:[0,1]\to \Bbb R,\quad g(t)=f((1-t)a+tb) \)

Fíjate que \( g(0)=a,\quad g(1)=b \). Por el Teorema de Lagrange existe \( s\in (0,1) \) tal que:

\( g(1)-g(0)=g'(s) \)

Pero por la regla de la cadena:

\( g'(s)=df_{\underbrace{(1-s)a+sb)}_c}(b-a) \)

Perdón Luís pero ¿habrá una explicación un poco mas geométrica? Quiero entender el dibujo que me presenta el libro.

Son valores que se eligen arbitrariamente como parte del ejemplo; podrían valer otros cualesquiera.

Esta situación me es similar a cuando quería demostrar limites, que me decían que epsilon es un valor tan pequeño como se quiera. Me siento incomodo , o sea ¿cualquier valor que se me da la gana puedo meter ahí? Nunca lo terminé de entender a eso. Planeo explicárselo a alguien, si me preguntan porque puedo meter cualquier valor al incremento de \( x  \)no sabré que responder.

[ani_pascual]

Hola:

Fíjate que \( g(0)=\textcolor{red}{a},\quad g(1)=\textcolor{red}{b} \). Por el Teorema de Lagrange existe \( s\in (0,1) \) tal que:

Se ha colado una errata 
 \( g(0)=f(a),\quad g(1)=f(b) \)
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Perdón Luís pero ¿habrá una explicación un poco mas geométrica? Quiero entender el dibujo que me presenta el libro.

Observa el dibujo. Está representada la función \( f(x,y)=xy+2 \). Si tomas dos puntos \( A \) y \( B \) del plano (puedes moverlos en el dibujo) y consideras la restricción de esa función al segmento que los une, obtienes una curva (en rojo en el dibujo). Sobre esa curva tienes la interpretación del teorema de Lagrange que supongo que conoces y entiendes en una variable; hay un punto de esa curva cuya pendiente coincide con la de la recta que une su extremo inicial y final. Pues esa pendiente equivale a la diferencial de la función en dos variables en la dirección que une los dos puntos: ese es el Teorema de Lagrange en dos variables.

Esta situación me es similar a cuando quería demostrar limites, que me decían que epsilon es un valor tan pequeño como se quiera. Me siento incomodo , o sea ¿cualquier valor que se me da la gana puedo meter ahí? Nunca lo terminé de entender a eso. Planeo explicárselo a alguien, si me preguntan porque puedo meter cualquier valor al incremento de \( x  \)no sabré que responder.

Simplemente si tenemos una función derivable \( f(x) \), "cerca" de un punto \( x_0 \) se parece a la recta con pendiente \( f'(x_0) \) es decir:

\( f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=f(x_0)+f'(0)\cdot \Delta x \)

Entonces simplemente uno puede tomar ejemplos de esta aproximación eligiendo el \( \Delta x \) que nos de la gana; cuanto más pequeñito sea el incremento a prioiri mejor será la aproximación.

Saludos.

[delmar]

Hola

Complementando, se tiene un campo escalar :

\( f:R^n\rightarrow{R} \) continuo y diferenciable, considerando \( \vec{A},\vec{B}\in{R^n} \) estos son vectores y evidentemente existen \( f(\vec{A})\wedge f(\vec{B}) \) en el caso que n=2, \( \vec{A},\vec{B}\in{R^2} \) son vectores que se corresponden a puntos del plano, como muestra Luis Fuentes.

Se tiene también un función vectorial de variable real r, en detalle es una línea, un segmento, que empieza en el punto A y termina en el punto B :

\( r:[0,1]\rightarrow{R^n} \)

     \( \ t\rightarrow{\vec{r(t)}=\vec{A}+t(\vec{B}-\vec{A})} \) es continua y diferenciable también.

Existe la compuesta \( g=f \ o \ r  \) y queda definida de esta manera :

\( g:[0,1]\rightarrow{R} \)

   \( t\rightarrow{g(t)=f(r(t))} \) es evidente que g es una función real de una sola variable, continua y derivable, se puede aplicar el torema del valor medio para funciones reales de una sola variable :

\( \exists{s}\in{(0,1)} \ / \ g'(s)=\displaystyle\frac{g(1)-g(0)}{1-0}=\displaystyle\frac{f(\vec{B})-f(\vec{A})}{1}=f(\vec{B})-f(\vec{A}) \)

Para expresar la derivada, se hacen uso de los jacobianos :

\( J(g)=J(f) \ J(r)\Rightarrow{g'(t)=(f_x(r(t)) \ , \ f_y(r(t))) \ (\vec{B}-\vec{A})} \)

Evidentemente los jacobianos son matrices la primera dimensiones 1 x 1, la segunda 1 x 2 (gradiente de f) y la tercera 2 x 1 (vectores columna). Entonces esto queda :

\( \exists{s}\in{(0,1)} \ / \ g'(s)=\nabla f(r(s)) \ (\vec{B}-\vec{A})=f(\vec{B})-f(\vec{A})\Rightarrow{g'(s)=\nabla f(\vec{A}+s(\vec{B}-\vec{A}))=f(\vec{B})-f(\vec{A})} \)


Espero lo entiendas mejor.

Saludos

[Gabe]

Hola

Perdón Luís pero ¿habrá una explicación un poco mas geométrica? Quiero entender el dibujo que me presenta el libro.

Observa el dibujo. Está representada la función \( f(x,y)=xy+2 \). Si tomas dos puntos \( A \) y \( B \) del plano (puedes moverlos en el dibujo) y consideras la restricción de esa función al segmento que los une, obtienes una curva (en rojo en el dibujo). Sobre esa curva tienes la interpretación del teorema de Lagrange que supongo que conoces y entiendes en una variable; hay un punto de esa curva cuya pendiente coincide con la de la recta que une su extremo inicial y final. Pues esa pendiente equivale a la diferencial de la función en dos variables en la dirección que une los dos puntos: ese es el Teorema de Lagrange en dos variables.

Esta situación me es similar a cuando quería demostrar limites, que me decían que epsilon es un valor tan pequeño como se quiera. Me siento incomodo , o sea ¿cualquier valor que se me da la gana puedo meter ahí? Nunca lo terminé de entender a eso. Planeo explicárselo a alguien, si me preguntan porque puedo meter cualquier valor al incremento de \( x  \)no sabré que responder.

Simplemente si tenemos una función derivable \( f(x) \), "cerca" de un punto \( x_0 \) se parece a la recta con pendiente \( f'(x_0) \) es decir:

\( f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=f(x_0)+f'(0)\cdot \Delta x \)

Entonces simplemente uno puede tomar ejemplos de esta aproximación eligiendo el \( \Delta x \) que nos de la gana; cuanto más pequeñito sea el incremento a prioiri mejor será la aproximación.

Saludos.

Bestial explicación, me había olvidado un poco sobre aproximaciones usando la diferenciales, lo tuve que repasar.

Hola

Complementando, se tiene un campo escalar :

\( f:R^n\rightarrow{R} \) continuo y diferenciable, considerando \( \vec{A},\vec{B}\in{R^n} \) estos son vectores y evidentemente existen \( f(\vec{A})\wedge f(\vec{B}) \) en el caso que n=2, \( \vec{A},\vec{B}\in{R^2} \) son vectores que se corresponden a puntos del plano, como muestra Luis Fuentes.

Se tiene también un función vectorial de variable real r, en detalle es una línea, un segmento, que empieza en el punto A y termina en el punto B :

\( r:[0,1]\rightarrow{R^n} \)

     \( \ t\rightarrow{\vec{r(t)}=\vec{A}+t(\vec{B}-\vec{A})} \) es continua y diferenciable también.

Existe la compuesta \( g=f \ o \ r  \) y queda definida de esta manera :

\( g:[0,1]\rightarrow{R} \)

   \( t\rightarrow{g(t)=f(r(t))} \) es evidente que g es una función real de una sola variable, continua y derivable, se puede aplicar el torema del valor medio para funciones reales de una sola variable :

\( \exists{s}\in{(0,1)} \ / \ g'(s)=\displaystyle\frac{g(1)-g(0)}{1-0}=\displaystyle\frac{f(\vec{B})-f(\vec{A})}{1}=f(\vec{B})-f(\vec{A}) \)

Para expresar la derivada, se hacen uso de los jacobianos :

\( J(g)=J(f) \ J(r)\Rightarrow{g'(t)=(f_x(r(t)) \ , \ f_y(r(t))) \ (\vec{B}-\vec{A})} \)

Evidentemente los jacobianos son matrices la primera dimensiones 1 x 1, la segunda 1 x 2 (gradiente de f) y la tercera 2 x 1 (vectores columna). Entonces esto queda :

\( \exists{s}\in{(0,1)} \ / \ g'(s)=\nabla f(r(s)) \ (\vec{B}-\vec{A})=f(\vec{B})-f(\vec{A})\Rightarrow{g'(s)=\nabla f(\vec{A}+s(\vec{B}-\vec{A}))=f(\vec{B})-f(\vec{A})} \)


Espero lo entiendas mejor.

Saludos

Muchas gracias , que tengan feliz Año Nuevo, saludos.