[usuariomates]

Buenas!! 
¿Me puede ayudar alguien resolviendo este límite?
$$ \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{ \sin^{2}(x) \sin(y)}{x^{2}+y^{2}} $$

[ani_pascual]

Buenas!! 
¿Me puede ayudar alguien resolviendo este límite?

Hola:
Usando infinitésimos equivalentes, diría que
\( \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{\sin^2(x)\sin y}{x^2+y^2}=\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^2y}{x^2+y^2} \).
Ahora, \( |x^2y|\leq \sqrt{x^2+y^2}(x^2+y^2)\Longrightarrow \left|\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}\right|<\varepsilon, \hspace{1cm} \) si \( 0<|(x,y)|=\sqrt{x^2+y^2}<\delta=\varepsilon \)
Por tanto, \( \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{\sin^2(x)\sin y}{x^2+y^2}=0 \)
 Saludos

[ani_pascual]

Muchas gracias por ayudarme 
¿Por qué en la primera línea estableces que $$  \sin^{2}(x) \sin(y)=x^{2}y$$ ?

Hola:
Si \( u:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \) cumple que \( \lim\limits_{t\to a}u(t)=0 \) se dice que es un infinitésimo en \( t=a\in \mathbb{R} \). Si \( u,v \) son infinitésimos en \( t=a \) y además \( \lim\limits_{t\to a}\dfrac{u(t)}{v(t)}=1 \) se dice que \( u,v \) son indinitésimos equivalentes y se denota por \( u\sim v \) cuando \( t\to a \); cuando se da esta condición se puede sustituir uno por otro en el cálculo de límites, siempre que aparezcan como factores.
Los más usuales, cuando \( u(t)\to 0 \), son \( \left\{\begin{array}{l} u \sim \sen u\\u\sim \ln(1+u)\\u\sim e^u-1\\\dfrac{u^2}{2}\sim (1-\cos u)\\\vdots\end{array}\right. \)
En el caso que has puesto he sustituído \( \sen^2(x)\sim x^2\,\,\,\, \) y \( \sen y \sim y \)
Más información
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas!! 
¿Me puede ayudar alguien resolviendo este límite?
$$ \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{ \sin^{2}(x) \sin(y)}{x^{2}+y^{2}} $$

Parecido a lo que propone ani_pascual (con pequeñas diferencias):

\( |sin^2(x)|\leq |x|^2=x^2\leq x^2+y^2 \)
\( |sin(y)|<|y|\leq \sqrt{x^2+y^2} \)

Por tanto:

\( 0\leq \left| \dfrac{ \sin^{2}(x) \sin(y)}{x^{2}+y^{2}}\right|\leq  \dfrac{ (x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{x^2+y^2} \)

Aplicando límites y por el Teorema del Sandwich se concluye que el límite es cero.

Saludos.

[usuariomates]

Creo que lo he entendido mejor como me lo has explicado Luis Fuentes, muchas gracias a ambos 

[ani_pascual]

Muchas gracias por ayudarme 
¿Por qué en la primera línea estableces que $$  \sin^{2}(x) \sin(y)=x^{2}y$$ ?

Hola:
En ninguna línea he escrito esa igualdad 
Lo que he escrito es una igualdad de límites 
Saludos🖐🏻

[usuariomates]

En ninguna línea he escrito esa igualdad 
Lo que he escrito es una igualdad de límites 
Saludos🖐🏻

Okey sí, tienes toda la razón que no es lo mismo una cosa que otra. Muchas gracias