Al doblar la hoja nos queda un triángulo rectángulo delimitado por el lado de la espiral del cuaderno: de hipotenusa “h”, altura “y” y base “x=1”.
Tenemos como condición que \( y+h=AD=EF \) (que es el lado de la espiral).
Sobre “h” se forma un trapecio de bases “h” y “k”, con altura x=1; que se compone de un triángulo rectángulo de base \( h-k \) y un rectángulo de base k con hipotenusa EF; ambos de altura x=1.
Si trazamos la diagonal de ese rectángulo (línea de puntos en naranja) vemos que, por simetría, tiene que quedar un triángulo rectángulo igual al de altura “y”, “hipotenusa h”; es decir, \( y+1=k+1 \) para que sea AD=EF;
o lo que es lo mismo, tiene que quedar \( y+h=k+diagonal\,rect\acute{a}ngulo \).
En resumidas cuentas, k=y; h=diagonal.
Y tenemos que y+h tiene que ser igual a la hipotenusa EF del triángulo que forma el trapecio.
\( y+h=\sqrt{1^{2}+(h-k)^{2}} \)
pero hemos visto que k=y.
Sustituyendo y despejando llegamos a \( y=\dfrac{1}{4h} \).
Así, en el triángulo de abajo, por Pitágoras
\( h^{2}-1=(\dfrac{1}{4h})^{2} \)
\( h=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{5}}}{2}=1,029 \)
de donde
\( y=0,243 \)
y entonces
\( y+h=1,272 \) (redondeando).
*(es una hoja usada, lo escrito a boli no tiene nada que ver)
