[Pie]

Ligera variación de uno que me encontré en Academia Internet..

Sea \( EF \) el pliegue que hay que hacer en una hoja de papel rectangular \( ABCD \) para que, al doblarla, los vértices \( A \) y \( C \) coincidan, y sabiendo que \( AB = 1 \textrm{ dm} \).. ¿Cuánto tiene que valer \( AD \) para que sea igual a \( EF \)?



Saludos.

[sugata]

Si es correcto lo explico, pero no estoy seguro.

Spoiler

\( \sqrt[ ]{2}\ dm \)

[cerrar]

[Pie]

Si es correcto lo explico, pero no estoy seguro.

Spoiler

\( \sqrt[ ]{2}\ dm \)

[cerrar]

Da un poco menos, a no ser que me haya equivocado yo que también puede ser (aunque en el Geogebra al menos me cuadra )

Saludos.

[sugata]

La intuición que tendría que probar.

Spoiler

El pliegue es la diagonal del cuadrado máximo centrado de lado 1dm. De ahí mi respuesta.

[cerrar]

[ani_pascual]

Ligera variación de uno que me encontré en Academia Internet..

Sea \( EF \) el pliegue que hay que hacer en una hoja de papel rectangular \( ABCD \) para que, al doblarla, los vértices \( A \) y \( C \) coincidan, y sabiendo que \( AB = 1 \textrm{ dm} \).. ¿Cuánto tiene que valer \( AD \) para que sea igual a \( EF \)?

Hola:
Al igual que sugata, tampoco estoy muy seguro 

Spoiler

Sean \( B',D' \) los simétricos respecto al eje \( EF \) de los puntos \( B,D \) respectivamente; llamemos \( x=\overline{BF}=\overline{DE} \). Entonces se ha de cumplir, por la simetría

\( \left\{\begin{array}{l}(\overline{AD}-2x)^2+1^2=\overline{EF}^2\\\overline{AD}=\overline{EF}\\(\overline{AD}-x)^2=x^2+1^2\end{array}\right. \) y tras resolver y descartar resultados incoherentes...
\( x=\dfrac{\sqrt{5}-2}{4}\Longrightarrow \overline{AD}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{\sqrt{5}-2}}\simeq 1,272\, dm \), lo cual me parece un poco extraño 
Ya me corregiréis si está mal

[cerrar]

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Spoiler

Si llamamos \( BE=x \) y \( AD=BC=y \), en el triángulo rectángulo \( ABE \) se tiene:

\(  1^2+x^2=(y-x)^2 \)

 Por otra parte: \( EF^2=1^2+(y-2x)^2 \). Si queremos que \( EF=AD \):

\(  y^2=1^2+(y-2x)^2 \)

 Nos queda el sistema de ecuaciones:

\(  1=y^2-2xy \)
\(  4xy=1+4x^2 \)

 Despejando \( x \) en la primera y sustituyendo en la segunda se llega a:

\( y^4-y^2-1=0 \)

 Resolviendo \( y=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}\approx 1.272 \).

[cerrar]

Saludos.

[Pie]

Ligera variación de uno que me encontré en Academia Internet..

Sea \( EF \) el pliegue que hay que hacer en una hoja de papel rectangular \( ABCD \) para que, al doblarla, los vértices \( A \) y \( C \) coincidan, y sabiendo que \( AB = 1 \textrm{ dm} \).. ¿Cuánto tiene que valer \( AD \) para que sea igual a \( EF \)?

Hola:
Al igual que sugata, tampoco estoy muy seguro 

Spoiler

Sean \( B',D' \) los simétricos respecto al eje \( EF \) de los puntos \( B,D \) respectivamente; llamemos \( x=\overline{BF}=\overline{DE} \). Entonces se ha de cumplir, por la simetría

\( \left\{\begin{array}{l}(\overline{AD}-2x)^2+1^2=\overline{EF}^2\\\overline{AD}=\overline{EF}\\(\overline{AD}-x)^2=x^2+1^2\end{array}\right. \) y tras resolver y descartar resultados incoherentes...
\( x=\dfrac{\sqrt{5}-2}{4}\Longrightarrow \overline{AD}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{\sqrt{5}-2}} \), lo cual me parece un poco extraño 
Ya me corregiréis si está mal

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Saludos

Pues el resultado destá bien.

Spoiler

Aunque no sé cómo te quedó la solución así. Es la raiz cuadrada del número aureo.

[cerrar]

Saludos.

[Pie]

Hola

Spoiler

Si llamamos \( BE=x \) y \( AD=BC=y \), en el triángulo rectángulo \( ABE \) se tiene:

\(  1^2+x^2=(y-x)^2 \)

 Por otra parte: \( EF^2=1^2+(y-2x)^2 \). Si queremos que \( EF=AD \):

\(  y^2=1^2+(y-2x)^2 \)

 Nos queda el sistema de ecuaciones:

\(  1=y^2-2xy \)
\(  4xy=1+4x^2 \)

 Despejando \( x \) en la primera y sustituyendo en la segunda se llega a:

\( y^4-y^2-1=0 \)

 Resolviendo \( y=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.272 \).

[cerrar]

Saludos.

Saludos.

[Pie]

La intuición que tendría que probar.

Spoiler

El pliegue es la diagonal del cuadrado máximo centrado de lado 1dm. De ahí mi respuesta.

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Se me había pasado este mensaje..

Spoiler

Yo al resolver el original (donde daban la base y altura del rectángulo y pedian hallar el pliegue) también fue lo primero que pensé, pero luego probando con distintos rectángulos vi que no se cumplía.

Cuanto más "alargado" es el rectángulo menor es la pendiente del pliegue (puedes verlo también en el ggb que puso Luís, moviendo el vértice C para arriba se ve que la máxima pendiente es para un rectángulo cuadrado, de ahi que tenga que dar un poco menos que \( \sqrt{2} \) ).

[cerrar]

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Spoiler

Aunque no sé cómo te quedó la solución así. Es la raiz cuadrada del número aureo.

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Pues tienes razón ...

Spoiler

\( \overline{AD}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{\sqrt{5}-2}}=\dfrac{\frac{1}{\Phi}}{\sqrt{\dfrac{2}{\Phi}-1}}=\dfrac{\sqrt{\Phi}}{\Phi\sqrt{2-\Phi}}=\dfrac{1}{\sqrt{\Phi-1}}=\sqrt{\Phi} \)

[cerrar]

Saludos