[ancape]

Hola

El siguiente problema me lo he planteado al tratar de resolver pasatiempos del tipo: ¿Cuántos triángulos hay en la figura?. He tratado de resolverlo en un caso general y no he podido. Tampoco en casos particulares.

Sea ABC un triángulo. Se pide hallar el mínimo y el máximo número de triángulos que pueden formarse cortando ABC con 5 rectas que cortan a los lados. ¿Y si son \( n \) las rectas?

En la figura, podemos apreciar diferentes formas de construir triángulos moviendo los puntos que definen las rectas de corte.
Saludos

[ani_pascual]

Hola

El siguiente problema me lo he planteado al tratar de resolver pasatiempos del tipo: ¿Cuántos triángulos hay en la figura?. He tratado de resolverlo en un caso general y no he podido. Tampoco en casos particulares.

Sea ABC un triángulo. Se pide hallar el mínimo y el máximo número de triángulos que pueden formarse cortando ABC con 5 rectas que cortan a los lados. ¿Y si son \( n \) las rectas?

Hola:
Pero ¿se puede suponer que los triángulos han de estar dentro del triángulo original?
Saludos

[ancape]

Hola

El siguiente problema me lo he planteado al tratar de resolver pasatiempos del tipo: ¿Cuántos triángulos hay en la figura?. He tratado de resolverlo en un caso general y no he podido. Tampoco en casos particulares.

Sea ABC un triángulo. Se pide hallar el mínimo y el máximo número de triángulos que pueden formarse cortando ABC con 5 rectas que cortan a los lados. ¿Y si son \( n \) las rectas?

Hola:
Pero ¿se puede suponer que los triángulos han de estar dentro del triángulo original?
Saludos

No lo he dicho en el enunciado pero sí. Los triángulos que hay que contar deben estar contenidos íntegramente en el triángulo ABC, pero podría ocurrir que sus lados no estén completamente constituidos por trozos de las rectas que se dan. Podría ocurrir que uno de los triángulos que hay que contar tenga 2 lados incluidos en el borde de ABC y el otro en una de las rectas, o un lado en el borde de ABC y los otros dos en rectas. El propio triángulo ABC forma parte del conteo.

Saludos

[ancape]

Hola

Creo que tengo una estimación del mínimo número de triángulos que se forman con \( n \) rectas. Creo que del razonamiento es correcto pero os agradecería que si veis algún fallo me lo comuniquéis.

Spoiler

Si \( n \) rectas cortan a los lados del triángulo ABC, podremos observar como mínimo \( n+1 \) triángulos
La demostración la voy a hacer por inducción.
Para \( n=1 \) se verifica pues, como vemos en la figura, la recta dada corta a dos lados (si corta sólo a uno tendría que pasar por un vértice y no entrar en ABC y no puede cortar a los tres lados). Observamos pues 2 triángulos ABC y BFG, esto es \( n+1 \)

Si suponemos que la afirmación es cierta para \( n \) y tengo \( n+1 \) rectas, la nueva recta genera seguro el triángulo BFG que no es ninguno de los que generaron las otras \( n \) pues para que eso ocurra, la nueva recta tendrá en común los puntos FG con alguna de las otras y será pues una de ellas (También se genera ABC pero ese ya estaba contado). Se genera pues al menos un nuevo triángulo por lo que el número que podemos observar es al menos \( n+1 \) y la proposición queda probada.

Calcular el número máximo de triángulos parece mucho más difícil incluso si \( n=5 \). De lo que no cabe duda es que tal número existe pues una vez que se da \( n \) y una determinada disposición de rectas, el número de triángulos observables es un número natural finito.

[cerrar]

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

Creo que tengo una estimación del mínimo número de triángulos que se forman con \( n \) rectas. Creo que del razonamiento es correcto pero os agradecería que si veis algún fallo me lo comuniquéis.

Spoiler

Si \( n \) rectas cortan a los lados del triángulo ABC, podremos observar como mínimo \( n+1 \) triángulos

[cerrar]

No he entrado aún a analizar la demostración; tan solo comento que me ha extrañado la tesis. En mi opinión, si \( n=1 \) lo que se puede observar es que \( 2=n+1 \) no es el número mínimo de triángulos, ya que el número mínimo sería \( 1 \), que es cuando la recta pasa solo por uno de los vértices o contiene a uno de los lados, ni es el número máximo, que es \( 3 \), el cual se obtiene cuando la recta pasa por un vértice y corta al lado opuesto por un punto que no sea extremo. Quizás no esté entendiendo el problema que planteas.
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Creo que tengo una estimación del mínimo número de triángulos que se forman con \( n \) rectas. Creo que del razonamiento es correcto pero os agradecería que si veis algún fallo me lo comuniquéis.

Si \( n \) rectas cortan a los lados del triángulo ABC, podremos observar como mínimo \( n+1 \) triángulos
La demostración la voy a hacer por inducción.
Para \( n=1 \) se verifica pues, como vemos en la figura, la recta dada corta a dos lados (si corta sólo a uno tendría que pasar por un vértice y no entrar en ABC y no puede cortar a los tres lados). Observamos pues 2 triángulos ABC y BFG, esto es \( n+1 \)

Si suponemos que la afirmación es cierta para \( n \) y tengo \( n+1 \) rectas, la nueva recta genera seguro el triángulo BFG que no es ninguno de los que generaron las otras \( n \) pues para que eso ocurra, la nueva recta tendrá en común los puntos FG con alguna de las otras y será pues una de ellas (También se genera ABC pero ese ya estaba contado). Se genera pues al menos un nuevo triángulo por lo que el número que podemos observar es al menos \( n+1 \) y la proposición queda probada.

 Está bien  la idea; aunque en la demostración no llega con decir se general "al menos" un nuevo triángulo ,ya que si queremos defender que el mínimo es \( n+1 \) hay que justificar que existe una configuración con `\( n \) rectas que de lugar a \( n+1 \) triángulos y ninguno más.

Para ello basta tomar \( n \) rectas paralelas a la base del triángulo. Los únicos triángulos posibles son los que unen el vértice opuesto a la base con cada uno de los segmentos que los otros dos lados determinan sobre cada recta paralela a la misma (más el triángulo original).

En cuanto al máximo no lo veo claro tampoco.

- Para \( n=1 \) el máximo son \( 3 \) triángulos.
- Para \( n=2 \) el máximo son \( 8 \) triángulos
- Para \( n=3 \) creo que el máximo son \( 16 \) triángulos...
- Para \( n=4 \) consigo \( 27 \) triángulos... Pero esto es un poco a vuelapluma



Saludos.

P.D. Respondiendo a ani_pascual, respecto al mínimo, entiendo que no se permiten rectas que coincidan con los lados o que sólo corten en un punto a todo el triángulo.

[ani_pascual]

Hola:

P.D. Respondiendo a ani_pascual, respecto al mínimo, entiendo que no se permiten rectas que coincidan con los lados o que sólo corten en un punto a todo el triángulo.

Como en el enunciado de ancape
Sea ABC un triángulo. Se pide hallar el mínimo y el máximo número de triángulos que pueden formarse cortando ABC con 5 rectas que cortan a los lados. ¿Y si son \( n \) las rectas?
no se especifica cómo cortan las rectas a los lados había supuesto que lo podían hacer solo en un extremo; pero si es como dices, la cosa cambia. Tendría que ser un poco más preciso el enunciado ¿no?   
Saludos

[ancape]

......
 Está bien  la idea; aunque en la demostración no llega con decir se general "al menos" un nuevo triángulo ,ya que si queremos defender que el mínimo es \( n+1 \) hay que justificar que existe una configuración con `\( n \) rectas que de lugar a \( n+1 \) triángulos y ninguno más.
......

No entiendo muy bien la frase 'hay que justificar que existe una configuración con \( n \) rectas que de lugar a \( n+1 \) triángulos y ninguno más'. El método de inducción dice que se pruebe para \( m=1 \), se suponga probado para \( m=n \) y de aquí se deduzca para \( m=n+1 \). Si la configuración con n rectas diese lugar a mas de \( n+1 \) triángulos, tendríamos \( 1+ \)los triángulos producidos por esas \( n \) rectas que es un número mayor que \( n+1 \)

Saludos

[ancape]

.......

no se especifica cómo cortan las rectas a los lados había supuesto que lo podían hacer solo en un extremo; pero si es como dices, la cosa cambia. Tendría que ser un poco más preciso el enunciado ¿no?   

Efectivamente, en el enunciado no se especifica que cada una de las rectas corta a dos lados y sólo dos del triángulo ABC. Esto excluye que alguna de estas rectas sea un lado del triángulo. Amplío el enunciado con esta condición.

Hace tiempo leí un artículo de H.Poincaré en el que hablaba de la imposibilidad de que un enunciado escrito exprese plenamente lo que el que lo ha producido quiere expresar. Lo he buscado pero no lo he encontrado    Mas o menos decía así:

En un pueblo, estaban hartos de pisar mierdas de perro en el parque por lo que un concejal propuso prohibir la entrada de perros para lo que propuso poner un cartel que anunciaba 'Se prohíbe la entrada de perros en este parque'. Inmediatamente otro concejal observó que si ponían tal cartel, los dueños de perro se irían al parque de al lado y no se solucionaba el problema del pueblo, así que el cartel tomó la nueva redacción 'Se prohíbe la entrada de perros en cualquier parque'. Inmediatamente otro concejal objetó que tal cartel podría interpretarse como una prohibición para todos los parques de la nación y que no tenían competencias para eso. Lo arreglaron con el cartel 'Se prohíbe la entrada de perros en cualquier parque de este pueblo'. Ya estaban satisfecho con la última redacción pero alguien observó que los perros sin dueño podrían acceder perfectamente a los parques pues al no saber leer.....

Concluye que por muchas precisiones que se hagan siempre quedará incompleto y no expresará el pensamiento del que propuso la norma.

Con los enunciados de un problema ocurre igual. Nunca podrán expresar exactamente las condiciones en que se desarrolla cada concepto vertido, así que el que lo resuelve es el encargado de dejar claras las hipótesis en que se basa su resolución y caso de no presuponer algo, preguntar al proponente y que dé la aclaración apropiada.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

No entiendo muy bien la frase 'hay que justificar que existe una configuración con \( n \) rectas que de lugar a \( n+1 \) triángulos y ninguno más'. El método de inducción dice que se pruebe para \( m=1 \), se suponga probado para \( m=n \) y de aquí se deduzca para \( m=n+1 \). Si la configuración con n rectas diese lugar a mas de \( n+1 \) triángulos, tendríamos \( 1+ \)los triángulos producidos por esas \( n \) rectas que es un número mayor que \( n+1 \)

Me resulta muy confuso lo que dices ahí, y releyendo como has redactado la demostración también me resulta algo confusa. Aunque creo que es un simple problema de redacción.

Si suponemos que la afirmación es cierta para \( n \) y tengo \( n+1 \) rectas, la nueva recta genera seguro el triángulo BFG que no es ninguno de los que generaron las otras \( n \) pues para que eso ocurra, la nueva recta tendrá en común los puntos FG con alguna de las otras y será pues una de ellas (También se genera ABC pero ese ya estaba contado). Se genera pues al menos un nuevo triángulo por lo que el número que podemos observar es al menos \( n+1 \) y la proposición queda probada.

 Si queremos probar que el mínimo número de triángulos para \( n \) rectas es \( n+1 \)  hay que probar dos cosas:

- Que cualquier configuración con \( n \) rectas al menos genera \( n+1 \) triángulos.
- Que existe una configuración con \( n \) rectas que genera EXACTAMENTE \( n+1 \) triángulos.

 Creo que tu pruebas por inducción lo primero, pero no lo segundo. Lo que afirmas es que al añadir una recta al menos se genera el triángulo que tiene como uno de sus lados un segmento de la recta que hemos añadido y como vértice opuesto el del triángulo original donde se cortan los dos  lados que corta la recta añadida. Ahí estoy de acuerdo.

 Pero hasta ahí tendríamos simplemente probado que el mínimo es \( \geq n+1 \). Para ver que el mínimo es exactamente \( n+1 \) hay que dar una configuración concreta donde precisamente con \( n \) rectas se formen \( n+1 \) triángulos, que es lo que he indicado en mi mensaje anterior.

Saludos.