[mamen]

Hola muy buenas.
Soy Mamen.
No sé si alguien me puede aclarar qué son las variedades lineales en los espacios vectoriales.
- En algunos textos me encuentro la generación de subespacios vectoriales a partir de operaciones de estos. Por ejemplo, me encuentro la definición de subespacios vectoriales engendrados por intersección de subespacios, unión de subespacios y suma de subespacios.

- En cambio en otros textos me encuentro la definición de variedad lineal de un espacio vectorial E sobre K como \( a·\vec{u} + (1-a)\vec{v}\in{A}
 ,  \forall{\vec{u,}\vec{v}}\in{A} ,  \forall{a}\in{K} \) y definición de variedad lineal engendrada por un vector \( \vec{a} \) de un espacio V, como un subconjunto \( L = \vec{a} + F = ({\vec{v} \in{E} /\exists{\vec{w}}\in{F}  con   \vec{v} = \vec{a}+\vec{w}}) \)  siendo F dirección de la variedad lineal. (los paréntesis serían llaves para indicar el contenido del conjunto L pero no sé por qué no me salen las llaves y he tenido que poner paréntesis para indicar dicho conjunto).
Además en este texto me dice que, en general, las variedades lineales no son subespacios vectoriales. Y estoy ya me ha descolocado del todo.

Con lo que no sé qué son las variedades lineales, si es generar subespacios o qué es.

Gracias por leerme. Un saludo.

[ani_pascual]

Hola muy buenas.
Soy Mamen.
No sé si alguien me puede aclarar qué son las variedades lineales en los espacios vectoriales.
- En algunos textos me encuentro la generación de subespacios vectoriales a partir de operaciones de estos. Por ejemplo, me encuentro la definición de subespacios vectoriales engendrados por intersección de subespacios, unión de subespacios y suma de subespacios.

- En cambio en otros textos me encuentro la definición de variedad lineal de un espacio vectorial E sobre K como \( a·\vec{u} + (1-a)\vec{v}\in{A}
 ,  \forall{\vec{u,}\vec{v}}\in{A} ,  \forall{a}\in{K} \) y definición de variedad lineal engendrada por un vector \( \vec{a} \) de un espacio V, como un subconjunto \( L = \vec{a} + F = ({\vec{v} \in{E} /\exists{\vec{w}}\in{F}  con   \vec{v} = \vec{a}+\vec{w}}) \)  siendo F dirección de la variedad lineal. (los paréntesis serían llaves para indicar el contenido del conjunto L pero no sé por qué no me salen las llaves y he tenido que poner paréntesis para indicar dicho conjunto).
Además en este texto me dice que, en general, las variedades lineales no son subespacios vectoriales. Y estoy ya me ha descolocado del todo.

Con lo que no sé qué son las variedades lineales, si es generar subespacios o qué es.

Gracias por leerme. Un saludo.

Hola:
Las variedades lineales creo que son lo mismo que los subespacios afines.
Para escribir llaves ...
¿Dónde están las llaves...?
En el fondo del mar, matarile, ... 
\( \{ \} \)
Saludos 🖐🏻

[Luis Fuentes]

Hola

Hola muy buenas.
Soy Mamen.
No sé si alguien me puede aclarar qué son las variedades lineales en los espacios vectoriales.
- En algunos textos me encuentro la generación de subespacios vectoriales a partir de operaciones de estos. Por ejemplo, me encuentro la definición de subespacios vectoriales engendrados por intersección de subespacios, unión de subespacios y suma de subespacios.

- En cambio en otros textos me encuentro la definición de variedad lineal de un espacio vectorial E sobre K como \( a·\vec{u} + (1-a)\vec{v}\in{A}
 ,  \forall{\vec{u,}\vec{v}}\in{A} ,  \forall{a}\in{K} \) y definición de variedad lineal engendrada por un vector \( \vec{a} \) de un espacio V, como un subconjunto \( L = \vec{a} + F = ({\vec{v} \in{E} /\exists{\vec{w}}\in{F}  con   \vec{v} = \vec{a}+\vec{w}}) \)  siendo F dirección de la variedad lineal. (los paréntesis serían llaves para indicar el contenido del conjunto L pero no sé por qué no me salen las llaves y he tenido que poner paréntesis para indicar dicho conjunto).
Además en este texto me dice que, en general, las variedades lineales no son subespacios vectoriales. Y estoy ya me ha descolocado del todo.

Habría que fijar muy bien el contexto y definiciones con las que te manejas.

Pero en principio:

- Un subespacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial que se comporta como un espacio vectorial con las mismas operaciones de su espacio ambiente: es decir si sumamos vectores o multiplicamos por escalares que están dentro del subespacio no nos salimos de él. Siempre tienen que contener por tanto al vector cero. Intuitivamente si piensas en el espacio vectorial \( \Bbb R^3 \) (tridimensional) los subespacios son el origen, rectas que pasan por el origen, planos que pasan por el origen y todo el espacio.

- Una variedad lineal es un concepto relacionado con espacios afines; la idea de un espacio afín es poder trasladar el espacio vectorial y sus vectores al punto que nos de la gana. En ese sentido, conceptualmente un espacio afín está formado por puntos y un espacio vectorial por vectores. Dados dos puntos queda definido un vector que los une. Y dado un punto y un vector puedes colocar el vector sobre el punto y en el "extremo" de éste queda definido otro punto.

 Una variedad lineal sería entonces un subespacio vectorial trasladado al punto que queramos (por tanto ya no tiene porque pasar por el origen).  Intuitivamente si piensas en el espacio afín \( \Bbb R^3 \) (tridimensional) las variedades lineales son: cualquier punto, cualquier recta, cualquier plano y todo el espacio (la diferencia con los subespacios es que ya no exigimos que pasen por el origen).

 Estos dos vídeos te pueden aclarar el asunto (subvariedad afín=variedad lineal):

Saludos.

[mamen]

Muy buenas y muchísimas gracias por responder, Luis.
He leído la explicación y los vídeos (hechos por ti) están muy bien (también de esa forma se te pone voz, jeje). El problema es que hay muchas cosas que me faltan de base acerca de este tema:

Antes de nada decir que el contexto en el que estoy preguntado acerca de las Variedades Lineales es en un tema de mi oposición que se titula: “Espacios Vectoriales. Variedades lineales. Aplicaciones Lineales. Teoremas de isomorfía”. Este es el motivo por el que en el tema mete un apartado denominado “Variedades lineales”.

Lo primero, ¿subvariedad afín que hablas en el vídeo, es lo mismo que variedad lineal de un espacio vectorial V?

Lo segundo: Hago esa primera pregunta, porque según lo que te he leído y visto en el vídeo, creo que sí son lo mismo pero, la subvariedad afín de tu vídeo es igual a la suma de un punto P del espacio afín E asociado al espacio vectorial V y un vector \( \vec{u} \)del subespacio vectorial U de V, osea P+\( \vec{u} \). En las definiciones que yo he encontrado por otro lado (no lo que pone en mi tema de oposición), me dice:

Definición 1: “Definimos variedad lineal de un espacio vectorial V sobre K, a cualquier parte A de V que verifique: \( β\vec{u} + (1 – β)\vec{v}\in{A}  \forall{\vec{u}\vec{v}}\in{A}, \forall{β}\in{K} \)“.

Definición 2: "Variedad lineal engendrada por un \( \vec{a}\in{V} \)(o sea un vector del espacio V y no un punto P del espacio afín E asociado a V tal y como tú pones en tu vídeo) y un subespacio U de V, es igual a: \( \vec{v}\in{V}/\exists{\vec{w}\in{U}} con \vec{v} = \vec{a}+\vec{w} \), siendo U la dirección de la variedad lineal"

Con lo cual no sé si la subvariedad afín de la que hablas en el vídeo es la misma que la variedad lineal que yo he encontrado por otro lado, es decir, ¿cuál es la diferencia entre tu definición y las dos definiciones que yo he encontrado por otro lado y que te pongo aquí? Tampoco sé qué diferencia hay entre esas dos definiciones 1 y 2 que yo he puesto.

Lo tercero: No sé si estas deducciones mías son correctas: Un subespacio vectorial es una variedad lineal que pasa por el origen. El recíproco no tiene por qué ser cierto, es decir, todos los subespacios vectoriales no tienen por qué ser variedades lineales. Esto es debido a que una variedad lineal no tiene por qué pasar por el origen. En consecuencia, cualquier variedad lineal no es subespacio.

Cuarto: ¿La variedad lineal generada por la unión de subespacios \( S_1US_2 \), o sea \( \left<{S_1US_2}\right> \) , es igual al subespacio "suma de subespacios \( S_1 + S_2 \)"?
 Es decir, ¿\( \left<{S_1US_2}\right> \) = \( S_1 + S_2 \) ? (para aclararlo bien, con \( \left<{S_1US_2}\right> \) me refiero a la variedad lineal generada por la unión de subespacios)

Muchísimas gracias por responder.

[Luis Fuentes]

Hola

Antes de nada decir que el contexto en el que estoy preguntado acerca de las Variedades Lineales es en un tema de mi oposición que se titula: “Espacios Vectoriales. Variedades lineales. Aplicaciones Lineales. Teoremas de isomorfía”. Este es el motivo por el que en el tema mete un apartado denominado “Variedades lineales”.

En realidad lo ideal es que te ciñas a la definiciones de UN texto concreto.

"Variedad lineal" puede referirse a un subespacio vectorial o a una subvariedad afín dependiendo del autor. Esto se comenta por ejemplo aquí:

Por una parte podemos encontrarnos con textos que definen una variedad lineal como un subespacio vectorial sin más; en otros se identifica una variedad lineal con un subconjunto de un subespacio vectorial que no conserva la estructura en sí, pero que sí tiene la forma de un espacio vectorial; en otros como las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales; e incluso encontramos autores que definen las variedades lineales como elementos de un espacio cociente.

Lo primero, ¿subvariedad afín que hablas en el vídeo, es lo mismo que variedad lineal de un espacio vectorial V?

Pues como te digo depende del autor. Si entendemos por variedad lineal a un conjunto de la forma:

\( \{\vec u+\vec w|\vec w\in W\} \) siendo \( W \) un subespacio vectorial

Entonces SI, variedad lineal es lo mismo que subvariedad afín.

Lo segundo: Hago esa primera pregunta, porque según lo que te he leído y visto en el vídeo, creo que sí son lo mismo pero, la subvariedad afín de tu vídeo es igual a la suma de un punto P del espacio afín E asociado al espacio vectorial V y un vector \( \vec{u} \)del subespacio vectorial U de V, osea P+\( \vec{u} \). En las definiciones que yo he encontrado por otro lado (no lo que pone en mi tema de oposición), me dice:

Definición 1: “Definimos variedad lineal de un espacio vectorial V sobre K, a cualquier parte A de V que verifique: \( \beta \vec{u} + (1 – \beta)\vec{v}\in{A}  \forall{\vec{u}\vec{v}}\in{A}, \forall{\beta}\in{K} \)“.

Definición 2[/u]: "Variedad lineal engendrada por un \( \vec{a}\in{V} \)(o sea un vector del espacio V y no un punto P del espacio afín E asociado a V tal y como tú pones en tu vídeo) y un subespacio U de V, es igual a: \( \vec{v}\in{V}/\exists{\vec{w}\in{U}} con \vec{v} = \vec{a}+\vec{w} \), siendo U la dirección de la variedad lineal"

Son definiciones equivalentes (si quieres ver como se demuestra la equivalencia dímelo) y corresponden ambas al concepto de subvariedad afín del que habla en el vídeo.

La forma natural de introducir ese concepto es en el contexto de espacios afines; pero puede hacerse igualmente hablando sólo de espacios vectoriales (y por eso no aparecen puntos, sino solo vectores).

La idea para ello es lo que se explica en el primer vídeo a partir del minuto 2'53'': cualquier espacio vectorial puede "repensarse" como espacio afín, simplemente asumiendo que los vectores representan en realidad puntos. Más allá de ese cambio de "chip", a efectos prácticos no hay diferencia entre hablar de un punto o un vector y es lo mismo hablar de:

\( P+\vec v \) que de \( \vec u+\vec v \)

porque el espacio afín es el mismo conjunto del espacio vectorial. Por eso puedes escribir en ese contexto que una subariedad afín es de la forma:

\( \{vec a+\vec w|\textsf{ con }w\in U\} \) siendo \( U \) un subespacio vectorial.

Lo tercero: No sé si estas deducciones mías son correctas: Un subespacio vectorial es una variedad lineal que pasa por el origen. El recíproco no tiene por qué ser cierto, es decir, todos los subespacios vectoriales no tienen por qué ser variedades lineales. Esto es debido a que una variedad lineal no tiene por qué pasar por el origen. En consecuencia, cualquier variedad lineal no es subespacio.

Correcto.

Cuarto: ¿La variedad lineal generada por la unión de subespacios \( S_1\cup S_2 \), o sea \( \left<{S_1\cup S_2}\right> \) , es igual al subespacio "suma de subespacios \( S_1 + S_2 \)"?
 Es decir, ¿\( \left<{S_1\cup S_2}\right> \) = \( S_1 + S_2 \) ? (para aclararlo bien, con \( \left<{S_1\cup S_2}\right> \) me refiero a la variedad lineal generada por la unión de subespacios)

Si, es correcto. Mira la proposición 2.7 de aquí:

https://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL1/pdfs/TEORIA3-1.pdf

Saludos.

[mamen]

Muchas gracias por responder Luis.

A ver.., voy a ir por partes:

CITA 1:

"Por una parte podemos encontrarnos con textos que definen una variedad lineal como un subespacio vectorial sin más; en otros se identifica una variedad lineal con un subconjunto de un subespacio vectorial que no conserva la estructura en sí, pero que sí tiene la forma de un espacio vectorial; en otros como las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales; e incluso encontramos autores que definen las variedades lineales como elementos de un espacio cociente"

1.- Esta cita la había visto, es de Jorge Morra, un chico que hace temas de oposiciones de secundaria. Una vez le compré un tema. La verdad que no me queda muy claro porque no entiendo del asunto. Mi duda es que en mi tema de mi preparador, en el apartado de "Variedades Lineales" el contenido que me pone es solo esto:
- Subespacio generado por un subconjunto W del espacio V, el cual es igual a  intersección de todos los subespacios que contienen a dicho subconjunto W.
-"Variedad lineal generada por la unión de subespacios". 
- Suma directa.

Y como he visto que una variedad lineal es algo más general que un subespacio vectorial, pues me ha creado inseguridad que en ese apartado estén metidas solo variedades lineales que son subespacios y que no meta un definición más general de variedad lineal como las que yo te he puesto (las de la cita siguiente).


2.- En cuanto a la equivalencia que me comentas no sé si te refieres a que estas definiciones (definición 1 y 2 que yo he puesto en esta Cita 2) son equivalentes o que mi definición2 y la de tu video son equivalentes. Si te refieres a que definición 1 y 2 son equivalentes y me puedes mandar la equivalencia, quizás me vendría bien porque tal y como están puestas no veo que sean lo mismo (entiendo que serán lo mismo), con lo que me descuadra.
En realidad no sé si añadir esas definiciones generales al tema, porque no sé si con eso lo que consigo es hacer un remix que no tiene lugar, y lo que hago es meter la pata, o si añadir esas dos definiciones de la cita 2 al contenido que  él ha puesto. Es lo que tiene no tener conocimientos sobre el asunto.

CITA 2.

Definición 1: “Definimos variedad lineal de un espacio vectorial V sobre K, a cualquier parte A de V que verifique: \( β\vec{u} +(1–β)v \in{A} , \forall{u,v}\in{A},∀β∈K \)“.
Definición 2: "Variedad lineal engendrada por un \( \vec{a}\in{V}  \)(o sea un vector del espacio V y no un punto P del espacio afín E asociado a V tal y como tú pones en tu vídeo) y un subespacio U de V, es igual a: \( v\in{V}/\exists{w}\in{U}con \vec{v} =\vec{a} +\vec{w} \) , siendo U la dirección de la variedad lineal"

3.- Y ya por último, (discúlpame cómo abuso de tus conocimientos que la verdad contestar de la forma que tú lo haces es increíble), no sé si podrías decirme un sitio donde hablaran sobre la importancia de los espacios vectoriales, variedades, aplicaciones , vamos sobre este tema en general. Es para meterlo en la introducción. En el tema del preparador habla de cosas de historia, que también está bien, pero yo no entiendo por qué no hablan de la importancia de forma más explícita ya que en los indicadores de evaluación ponen bien claro que en la introducción hay que hablar de eso. Los libros de historia, tales como Historia de la matemática de Boyer o Ribnikov los ojeé hace un tiempo y me dio la sensación en su día de que de ahí no había quien sacara sobre la importancia de la que te hablo.
Bueno, si puedes decirme algún sitio bien y si no, no pasa nada.

Igualmente, muchísimas gracias por la ayuda. Es un alivio encontrar un mensaje contestando.
Un saludo.

[mamen]

Hola de nuevo.
Hoy mi preparador ha dicho que Variedades afines no son lo mismo que variedades lineales. Que variedades afines son la que específicamente pasan por el origen y que las variedades lineales son los subespacios (que son los que pasan por el origen), con lo que las variedades lineales son las que pasan por el origen.
Por esa regla de tres, en el apartado variedades lineales no debería de meter ni la definición del video de Luis, ni estas definiciones, no?:

Definición 1:Variedad lineal de un espacio vectorial V sobre K, a cualquier parte A de V que verifique: \( β\vec{u} +(1–β)\vec{v}\in{A},\forall{u,v}\in{A} , \forall{beta}\in{K} \)“.

Definición 2: "Variedad lineal engendrada por un  vector \( \vec{a}\in{V} \) y un subespacio U de V, es igual a: \( \vec{v}\in{V}/\exists{w}\in{U} con \vec{v}=\vec{a}+\vec{w} \) , siendo U la dirección de la variedad lineal"

No sé qué opináis. Un saludo, muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola de nuevo.
Hoy mi preparador ha dicho que Variedades afines no son lo mismo que variedades lineales.

A ver hay algo que no se si ha quedado claro: la definición de variedad lineal no es la misma para todos los autores; unos consideran que es una cosa y otros que es una cosa distinta.

Yo entiendo que esto te resulte molesto para preparar tu temario; lo que tienes que hacer es ESCOGER tu una de la definiciones, y si variedades lineales aparece en el contexto de subespacios vectoriales lo más razonable es considerar (como dice tu preparado) "variedad lineal=subespacio vectorial".

Pero con este comentario quiero decir que no se trata de que unos estén equivocados frente a otros; es cuestión de convenio.

Que variedades afines son la que específicamente pasan por el origen y que las variedades lineales son los subespacios (que son los que pasan por el origen), con lo que las variedades lineales son las que pasan por el origen.

Ahí en la frase en rojo no se si quisiste decir otra cosa; las variedades afines NO tienen "obligación" de pasar por el origen; la variedades lineales, entendidas como subespacio vectoriales SI tienen "obligación" de pasar por el origen.

Por esa regla de tres, en el apartado variedades lineales no debería de meter ni la definición del video de Luis, ni estas definiciones, no?:

Definición 1:Variedad lineal de un espacio vectorial V sobre K, a cualquier parte A de V que verifique: \( β\vec{u} +(1–β)\vec{v}\in{A},\forall{u,v}\in{A} , \forall{beta}\in{K} \)“.

Definición 2: "Variedad lineal engendrada por un  vector \( \vec{a}\in{V} \) y un subespacio U de V, es igual a: \( \vec{v}\in{V}/\exists{w}\in{U} con \vec{v}=\vec{a}+\vec{w} \) , siendo U la dirección de la variedad lineal"

Correcto.

Saludos.

[mamen]

Muchas gracias por responder Luis.

Esta cita no recuerdo bien haberla puesto, bueno da igual.

Que variedades afines son la que específicamente pasan por el origen y que las variedades lineales son los subespacios (que son los que pasan por el origen), con lo que las variedades lineales son las que pasan por el origen.

POndré solo lo que ha puesto mi preparador y ya está. Es que es un lío que en algunos preparadores te encuentres una cosa y en otra te encuentres otra, porque por ejemplo en la academia Ecoem (que tiene muy buena fama) tienen puesto estas definiciones que yo he puesto aquí, en fin.
Cuando se entiende del tema se sabe ver por qué ocurre eso, pero cuando no, cuesta un poco. Entiendo que es lo que tú dices Luis, que cada uno entiende por variedad lineal una cosa y es igualmente válido.

Por otro lado, Luis,  discúlpame que te insista, a ver si me puedes echar una mano sobre la importancia del tema en las matemáticas. Es que tengo que ponerlo en la introducción y no hago nada más que buscar en un lado y en otro porque en el tema del preparador vienen cosas de historia que aunque creo son importantes, no sé sacar la importancia del tema. Y es que eso lo evalúan en el examen. No sé si sabes de algún sitio o libro donde pueda ver algo al respecto. Miro en internet y la verdad que no encuentro nada más que "mierdas" (con perdón).
El preparador  ha hablado sobre que Cayley y Grassman fueron los dos creadores de los espacios vectoriales. Cayley le dio un enfoque geométrico  y luego Grassman no sé qué hizo que sus trabajos fueron muy muy importantes en este tema pero no fueron tomados en cuenta en su momento. Que luego vino Peano y en su obra "Cálculo Geométrico" tradujo matemáticamente los trabajos de Grassman, dando una definición general de los espacios vectoriales y de las aplicaciones lineales. No sé si habré entendido bien.

No sé, algo de eso le he entendido a mi preparador, pero me es un lío, y yo de ahí no sé sacar la importancia que el descubrimiento de los espacios vectoriales tuvo en las matemáticas. Sé que se utilizan en muchas ciencias, como física, para las fuerzas, etc., pero todo eso me parece muy poco riguroso. No sé qué tienen que ver con el álgebra que se hacía hasta su descubrimiento ni con el álgebra lineal. En fin, un lío de ideas es lo que tengo, fruto de leer de aquí y de allí.

Estoy leyendo este artículo, pero es super denso, con lo que de momento no le he sacado mucho provecho:

https://bibliotecadigital.univalle.edu.co/server/api/core/bitstreams/b21ebfc0-e71c-47b0-bb2e-61ed4f22fcd8/content

Venga, un saludillo, y muchísimas gracias. Poquito a poquito se va haciendo el caminito.

[Luis Fuentes]

Hola

POndré solo lo que ha puesto mi preparador y ya está. Es que es un lío que en algunos preparadores te encuentres una cosa y en otra te encuentres otra, porque por ejemplo en la academia Ecoem (que tiene muy buena fama) tienen puesto estas definiciones que yo he puesto aquí, en fin.
Cuando se entiende del tema se sabe ver por qué ocurre eso, pero cuando no, cuesta un poco. Entiendo que es lo que tú dices Luis, que cada uno entiende por variedad lineal una cosa y es igualmente válido.

Sólo hay DOS cosas en cualquier caso; tampoco es tan caótico.

Yo entiendo que estás muy centrada en la oposición y te agobia no tener claro que poner; mi consejo es que prepares tu los temas de manera que a TI te resulte coherente su exposición; no tiene porque coincidir con lo que presenta otra persona.

Es cierto que también hay que tener en cuenta los criterios de corrección y tipo de examen. Desconozco totalmente los detalles sobre esto.

P

or otro lado, Luis,  discúlpame que te insista, a ver si me puedes echar una mano sobre la importancia del tema en las matemáticas. Es que tengo que ponerlo en la introducción y no hago nada más que buscar en un lado y en otro porque en el tema del preparador vienen cosas de historia que aunque creo son importantes, no sé sacar la importancia del tema. Y es que eso lo evalúan en el examen. No sé si sabes de algún sitio o libro donde pueda ver algo al respecto. Miro en internet y la verdad que no encuentro nada más que "mierdas" (con perdón).
El preparador  ha hablado sobre que Cayley y Grassman fueron los dos creadores de los espacios vectoriales. Cayley le dio un enfoque geométrico  y luego Grassman no sé qué hizo que sus trabajos fueron muy muy importantes en este tema pero no fueron tomados en cuenta en su momento. Que luego vino Peano y en su obra "Cálculo Geométrico" tradujo matemáticamente los trabajos de Grassman, dando una definición general de los espacios vectoriales y de las aplicaciones lineales. No sé si habré entendido bien.

Para ser sincero no soy muy ducho en historia de las matemáticas. No obstante ten en cuenta que la construcción de los conceptos matemáticos tal y como los conocemos ahora con sus definiciones y notación moderna no es lineal; es decir pudieron aparecer ideas parecidas a lo largo de la historia con notaciones diferentes y sin usar para nada los nombres que les damos ahora. Muchas veces los conceptos modernos son abstracciones de casos particulares que fueron introduciendo y estudiando diferentes autores.

Entonces no es una cosa tan objetiva el decir si fue fulanito o menganito el primero en introducir tal o cual concepto. De nuevo te animo a que escojas un texto y te hagas un resumen que a ti te convenza.

Te aporto este enlace:

https://www.emis.de/journals/DM/v14-2/art6.pdf

No sé, algo de eso le he entendido a mi preparador, pero me es un lío, y yo de ahí no sé sacar la importancia que el descubrimiento de los espacios vectoriales tuvo en las matemáticas. Sé que se utilizan en muchas ciencias, como física, para las fuerzas, etc., pero todo eso me parece muy poco riguroso. No sé qué tienen que ver con el álgebra que se hacía hasta su descubrimiento ni con el álgebra lineal. En fin, un lío de ideas es lo que tengo, fruto de leer de aquí y de allí.

En cuanto a las aplicaciones no tengo ni idea de desde que punto de vista y con que extensión y precisión se pide que se hable del asunto; cualquier enumeración de campos donde se aplica puede resultar vaga (o poco rigurosa como dices tu); pero precisar exactamente cómo se aplica puede ser muy largo. Entonces no se muy bien que es lo que se supone que se pide al respecto en la oposición.

Si tengo tiempo extiendo algo más la respuesta a esta parte.

Saludos.