[matesmarcos]

Hola,
Estoy teniendo problemas para entender en qué consiste un cubo en \( R^n \), especialmente en lo que respecta a su convexidad.

En mi libro de texto aparecen como una sección particular del tema de Conjuntos convexos en \( R^n \), y no entiendo muy bien la notación que usa (adjunto una captura de la definición). Además se deja como ejercicio demostrar que un n-cubo es la envoltura convexa de sus \( 2^n \) vértices, y no sé cómo empezar puesto que la información de la que dispongo sobre estos conjuntos es la adjuntada.



Agradezco cualquier comentario o ayuda que me sirva de guía

[ani_pascual]

Hola,
Agradezco cualquier comentario o ayuda que me sirva de guía

Hola:
Los puedes visualizar bien tomando \( \mathbb{x}^0=\mathbb{0}\in\mathbb{R}^n \), es decir, tomando el origen de coordenadas como centro del n-cubo.
Si  \( n=1 \) un segmento, si \( n=2 \) un cuadrado, si \( n=3 \) un cubo, etc.

Si \( X \) es el conjunto de los \( 2^n \) vértices del n-cubo, su envoltura convexa es
\( C(X)=\left\{\displaystyle\sum\limits_{} \alpha_i\mathbb{x}_i;\,\,\displaystyle\sum\limits_{}\alpha_i=1,\,\,\mathbb{x}_i\in X\right\} \) y coincide con el n-cubo.
Por ejemplo, en el caso \( n=1 \), si el conjunto de los vértices del 1-cubo es \( X=\{-\delta,\delta\} \) entonces \( C(X)=\{-(1-\alpha)\delta+\alpha\delta\,|\,\alpha\in[0,1]\}=[-\delta,\delta] \), es decir, el intervalo cerrado de extremos \( -\delta \) y \( \delta \).
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Se puede demostrar que un punto del \( n \)-cubo está en la envoltura convexa de sus vértices por ejemplo por inducción. Por comodidad además se puede trabajar con el cubo unitario.

 El paso inductivo sería el siguiente: suponemos el resultado cierto para \( n \)-cubos y lo probamos para \( n+1 \)-cubos.

 Dado \( (x_1,x_2,\ldots,x_n,x_{n+1})\in [0,1]^{[n+1]} \) se tiene que:

 \( (x_1,x_2,\ldots,x_n,x_{n+1})=x_{n+1}(x_1,x_2,\ldots,x_n,1)+(1-x_{n+1})(x_1,x_2,\dots,x_n,0) \) (*)

 Por hipótesis de inducción:

\(  (x_1,x_2,\ldots,x_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^{2^n}{}a_iv_i \) con \( a_i\in [0,1],\,\displaystyle\sum a_i=1 \).

 siendo \( \{v_i\} \) los vértices del \( n \)-cubo.

 Entonces si llamamos:

\(  f_0(y_1,y_2,\ldots,y_n)=(y_1,y_2,\ldots,y_n,0) \)
\(  f_1(y_1,y_2,\ldots,y_n)=(y_1,y_2,\ldots,y_n,1) \)

\(  (x_1,x_2,\ldots,x_n,0)=f_0(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^{2^n}{}a_if_0(v_i) \) con \( a_i\in [0,1],\,\displaystyle\sum a_i=1 \).

\(  (x_1,x_2,\ldots,x_n,1)=f_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^{2^n}{}a_if_1(v_i) \) con \( a_i\in [0,1],\,\displaystyle\sum a_i=1 \).

 donde \( \{f_0(v_i),f_1(v_i)\} \) son vértices del \( (n+1) \)-cubo y por tanto:

\( (x_1,x_2,\ldots,x_n,0),(x_1,x_2,\ldots,x_n,1) \) están en la envoltura convexa de los vértices del \( (n+1) \)-cubo.

Y por (*), \( (x_1,x_2,\ldots,x_n,x_{n+1}) \) está en la envoltura convexa de los vértices del \( (n+1) \)-cubo.

Saludos.

P.D. Se puede pasar a cualquier otro cubo con una homotecia y una traslación: ambas respetan la convexidad.

[ani_pascual]

Hola

 Se puede demostrar que un punto del \( n \)-cubo está en la envoltura convexa de sus vértices por ejemplo por inducción. Por comodidad además se puede trabajar con el cubo unitario.

 El paso inductivo sería el siguiente: suponemos el resultado cierto para \( n \)-cubos y lo probamos para \( n+1 \)-cubos.

Hola:
Gracias; a continuación pongo la parte que había pensado, pero tengo dudas de si está correcto.
Un n-cubo, \( C(\mathbf{x}^0,\delta)\subset \mathbb{R}^n \) centrado en \( \mathbf{x^0}\in \mathbb{R}^n \) y de arista \( 2\delta>0 \) no es más que la bola cerrada (con la norma del supremo) \( B_{\infty}(\mathbf{x^0},\delta)\subset \mathbb{R}^n \) centrada en \( \mathbf{x^0} \) y de radio \( \delta \), es decir, \( C(\mathbf{x}^0,\delta)=B_{\infty}(\mathbf{x^0},\delta)=\left\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\,\,:\,\,\|\mathbf{x-x^0}\|_{\infty}=\max\{|x_i-x_i^0|\}_{i=1}^n\leq \delta\right\} \); por comodidad, tomamos \( \mathbf{x^0}=\mathbf{0}\in\mathbb{R}^n \).
Sea \( \mathbf{x}=\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{2^n}\alpha_j\mathbf{x^j} \) con los \( \mathbf{x^j}\in X \), es decir, vértices del n-cubo y con \( \alpha_j\in [0,1],\,\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{2^n}\alpha_j=1 \); entonces \( \|\mathbf{x}\|_{\infty}=\left\|\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{2^n}\alpha_j (\pm \delta,\ldots,\pm \delta) \right\|_{\infty}\leq  \delta\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{2^n}\alpha_j=\delta \); luego \( \mathbf{x}\in C(\mathbf{0},\delta) \)
La otra implicación no la veía 
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias; a continuación pongo la parte que había pensado, pero tengo dudas de si está correcto.
Un n-cubo, \( C(\mathbf{x}^0,\delta)\subset \mathbb{R}^n \) centrado en \( \mathbf{x^0}\in \mathbb{R}^n \) y de arista \( 2\delta>0 \) no es más que la bola cerrada (con la norma del supremo) \( B_{\infty}(\mathbf{x^0},\delta)\subset \mathbb{R}^n \) centrada en \( \mathbf{x^0} \) y de radio \( \delta \), es decir, \( C(\mathbf{x}^0,\delta)=B_{\infty}(\mathbf{x^0},\delta)=\left\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\,\,:\,\,\|\mathbf{x-x^0}\|_{\infty}=\max\{|x_i-x_i^0|\}_{i=1}^n\leq \delta\right\} \); por comodidad, tomamos \( \mathbf{x^0}=\mathbf{0}\in\mathbb{R}^n \).
Sea \( \mathbf{x}=\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{2^n}\alpha_j\mathbf{x^j} \) con los \( \mathbf{x^j}\in X \), es decir, vértices del n-cubo y con \( \alpha_j\in [0,1],\,\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{2^n}\alpha_j=1 \); entonces \( \|\mathbf{x}\|_{\infty}=\left\|\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{2^n}\alpha_j (\pm \delta,\ldots,\pm \delta) \right\|_{\infty}\leq  \delta\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{2^n}\alpha_j=\delta \); luego \( \mathbf{x}\in C(\mathbf{0},\delta) \)
La otra implicación no la veía 
Saludos

Está bien.

Saludos.