[matesmarcos]

Hola, estoy intentando probar un ejercicio que dice lo siguiente:

Sea \( f:\Bbb R^2\to \Bbb R \) y \( g(x,y) = f((x_0,y_0) + (x,y)) \).
Demostrar que \( f \) es diferenciable en \( (x_0,y_0) \) si y solo si \( g \) es diferenciable en \( (0,0) \) y relacionar sus derivadas.

Yo estaba intentándolo demostrar a partir de la definición de ser diferenciable, que exista  (en el caso de \( f \)):


\( \displaystyle\lim_{(x,y)\to (0,0)}{}\dfrac{f((x_0,y_0)+(x,y))-f(x_0,y_0)-grad f(x_0,y_0(x,y)}{\|(x,y)\|} \)

y que éste valga 0, y desarrollar los límites de forma que llegue a la misma expresión tanto con \( f \) como con \( g \).

Mi problema está cuando voy a desarrollar el gradiente de \( g \) evaluado en \( (0,0) \), que no sé como seguir porque creo que tengo que usar la regla de la cadena pero es un tema que me lía muchísimo y estoy completamente bloqueado.
Mensaje corregido desde la administración.

Bienvenido al foro.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.
Si alguien pudiera ayudarme y explicarme cómo puedo usar la regla de la cadena en estos casos lo agradezco .

[ani_pascual]

Si alguien pudiera ayudarme y explicarme cómo puedo usar la regla de la cadena en estos casos lo agradezco .

Hola:
Bienvenido al foro; te sugiero que eches un vistazo a las reglas del mismo, en especial, al uso del \( \LaTeX \).
Observa que, por definición, es \( g=f\circ h \) donde \( \begin{array}[t]{rcl}h:\mathbb{R}^2&\longrightarrow & \mathbb{R}^2\\(x,y)&\mapsto & (x,y)+(x_0,y_0)\end{array} \) es una función diferenciable \( \forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2 \) tal que \( Dh(x,y)=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)\,\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2 \). Además, \( g(0,0)=f(h(0,0))=f(x_0,y_0) \).
Por tanto, si \( f \) es diferenciable en \( (x_0,y_0) \), entonces  \( g \) es diferenciable en \( (0,0) \) y recíprocamente; según la regla de la cadena se tiene \( Dg(0,0)=Df(h(0,0))\circ Dh(0,0)=Df(x_0,y_0)\circ Dh(0,0)=\left(\begin{array}{cc}f'_x &f'_y\end{array}\right)|_{(x_0,y_0)}\cdot\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}f'_x &f'_y\end{array}\right)|_{(x_0,y_0)} \).
Saludos