[ancape]

Hola

Problema del día:

Dados una circunferencia \( c \) y un par de punto exteriores a ella \( F_1,F_2 \) buscar una elipse tangente a \( c \) que tenga \( F_1,F_2 \) como focos.

El problema no es artificial y lo usé para añadir en Wikipedia la construcción de una elipse de focos dados tangente a una circunferencia que se usaba en la construcción de Huygens de una solución al problema de Alhacen de rebotes en un billar circular.

Saludos

[martiniano]

Hola.

Como ya sabes es un problema equivalente al de Alhacén. Por lo que dice Wikipedia y por lo que hablasteis en este hilo no parece que el problema permita hallar la solución con regla y compás.

Lo que no entiendo es lo que me dijiste en otro hilo sobre éste:

He puesto otra construcción en https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=125382.new#new de un problema análogo y creo que la demostración de que se obtiene una cónica es parecida. Si puedes mírala.

La demostración de que se obtiene una cónica... ¿De qué manera?

Saludos.

[ancape]

Hola.

Como ya sabes es un problema equivalente al de Alhacén. Por lo que dice Wikipedia y por lo que hablasteis en este hilo no parece que el problema permita hallar la solución con regla y compás.
.........

Efectivamente, el problema en general parece no ser resoluble con regla y compás pero como dije en el enlace que citas: 'Podría objetarse que la obtención de la intersección de un círculo con una hipérbola no es construible en general con regla y compás, pero es un procedimiento que está presente en todos los programas de trazado geométrico o bien analíticamente precisa sólo de la resolución de un sistema de dos ecuaciones de grado dos'

En el artículo de Wikipedia que trata del Problema de Alhacen se cita la descripción e historia del problema y se dice exactamente 'esta construcción usa la intersección de una hipérbola y de un círculo', esto es, Alhacen utiliza en su demostración (que hace a base de triángulos) la intersección del círculo dado con una hipérbola (la Hipérbola de Huygens).
Para finalizar el artículo explicaba: 'Abundando en la construcción de Huygens, podemos encontrar el punto de reflexión o rebote del billar circular buscando una elipse de focos los puntos dados P,Q y que sea tangente a la circunferencia. Si lo hacemos, los rayos que parten de un punto se reflejarán en la circunferencia pasando por el otro punto o el punto encontrado será el de rebote en un billar circular si los puntos dados son interiores a la circunferencia'


Allí decía que había que buscar una elipse de focos dados que fuese tangente al círculo dado. Es ahí donde pongo mi contribución dando un método para hallar tal elipse. Desafortunadamente el método descansa en la afirmación de que 'dados una circunferencia \( c \) y un par de punto exteriores a ella \( F1,F2 \) puede obtenerse una elipse tangente a \( c \) que tenga \( F1,F2 \) como focos'. Di una construcción de tal elipse como la cónica que pasa por los puntos medios de la intersección del círculo con una familia de elipses con focos \( F1,F2 \). El hecho lo comprobé haciendo muchas pruebas con Geogebra por lo que supuse que era cierto. Observa que es un problema parecido al de trazar la normal a una elipse desde un punto exterior, por eso te decía que pensases si la demostración que diste allí de que los puntos medios generaban una cónica , se puede adaptar a este caso.

Saludos

[martiniano]

Hola.

Allí decía que había que buscar una elipse de focos dados que fuese tangente al círculo dado. Es ahí donde pongo mi contribución dando un método para hallar tal elipse. Desafortunadamente el método descansa en la afirmación de que 'dados una circunferencia \( c \) y un par de punto exteriores a ella \( F1,F2 \) puede obtenerse una elipse tangente a \( c \) que tenga \( F1,F2 \) como focos'. Di una construcción de tal elipse como la cónica que pasa por los puntos medios de la intersección del círculo con una familia de elipses con focos \( F1,F2 \). El hecho lo comprobé haciendo muchas pruebas con Geogebra por lo que supuse que era cierto. Observa que es un problema parecido al de trazar la normal a una elipse desde un punto exterior, por eso te decía que pensases si la demostración que diste allí de que los puntos medios generaban una cónica , se puede adaptar a este caso.

Parece que hay situaciones en las que el lugar geométrico no se ajusta demasiado bien a una cónica.

[ancape]

Hola.

Allí decía que había que buscar una elipse de focos dados que fuese tangente al círculo dado. Es ahí donde pongo mi contribución dando un método para hallar tal elipse. Desafortunadamente el método descansa en la afirmación de que 'dados una circunferencia \( c \) y un par de punto exteriores a ella \( F1,F2 \) puede obtenerse una elipse tangente a \( c \) que tenga \( F1,F2 \) como focos'. Di una construcción de tal elipse como la cónica que pasa por los puntos medios de la intersección del círculo con una familia de elipses con focos \( F1,F2 \). El hecho lo comprobé haciendo muchas pruebas con Geogebra por lo que supuse que era cierto. Observa que es un problema parecido al de trazar la normal a una elipse desde un punto exterior, por eso te decía que pensases si la demostración que diste allí de que los puntos medios generaban una cónica , se puede adaptar a este caso.

Parece que hay situaciones en las que el lugar geométrico no se ajusta demasiado bien a una cónica.

Claro que el lugar que obtienes no es una cónica. Los puntos medios que hay que tomar son las intersecciones con determinada familia de elipses con focos comunes \( F_1,F_2 \), tú consideras la familia de elipses con esos focos y un punto  del círculo.

Te adjunto hoja de Geogebra con la construcción.

Saludos

[martiniano]

Hola.

Pensaba que el problema era:

Dada una circunferencia y dos puntos \[ F_1,F_2 \] demostrar que el lugar geométrico formado por los puntos medios de las intersecciones de la circunferencia con las elipses de focos \[ F_1 \] y \[ F_2 \] es una cónica

Si ese no es el enunciado corrígeme.

En caso de que ese sea el enunciado yo diría que es falso lo que se pretende demostrar. El dibujo que he puesto en el anterior mensaje pretende mostrar una posición relativa concreta de la circunferencia con los focos en la que el lugar geométrico obtenido no es una cónica. Es cierto en que en la mayoría de casos la curva se ajusta bien a una cónica, pero eso no significa que siempre lo sea, en general.

En el dibujo sólo he considerado las elipses con focos en \[ F_1 \] y \[ F_2 \] que tienen un punto sobre la circunferencia, ya que son exactamente las que la intersectan.

Un saludo.

[ancape]

Hola.

Pensaba que el problema era:

Dada una circunferencia y dos puntos \[ F_1,F_2 \] demostrar que el lugar geométrico formado por los puntos medios de las intersecciones de la circunferencia con las elipses de focos \[ F_1 \] y \[ F_2 \] es una cónica

Si ese no es el enunciado corrígeme.

En caso de que ese sea el enunciado yo diría que es falso lo que se pretende demostrar. El dibujo que he puesto en el anterior mensaje pretende mostrar una posición relativa concreta de la circunferencia con los focos en la que el lugar geométrico obtenido no es una cónica. Es cierto en que en la mayoría de casos la curva se ajusta bien a una cónica, pero eso no significa que siempre lo sea, en general.

En el dibujo sólo he considerado las elipses con focos en \[ F_1 \] y \[ F_2 \] que tienen un punto sobre la circunferencia, ya que son exactamente las que la intersectan.

Un saludo.

El enunciado que puedes ver como problema del día en este hilo es: 'Dados una circunferencia c y un par de puntos exteriores a ella F1,F2 buscar una elipse tangente a c que tenga F1,F2 como focos'
En ese mismo hilo, comento que el problema es equivalente al de Alhacen y que en Wikipedia publiqué un método para hallar esta elipse como cónica generada por los puntos medios de determinadas elipses con focos comunes \( F_1,F_2 \) y que construía allí. Puedes ver el enlace https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Alhac%C3%A9n y al final del artículo digo cómo construir tales elipses cuyas intersecciones con el círculo dado darán lugar a la cónica buscada (¡¡ Ojo !!, esta cónica no es la elipse solución, pero su intersección con el círculo dará el punto que añadido a los focos sí dará la elipse solución.)

Saludos

[martiniano]

Hola.

El enunciado que puedes ver como problema del día en este hilo es: 'Dados una circunferencia c y un par de puntos exteriores a ella F1,F2 buscar una elipse tangente a c que tenga F1,F2 como focos'
En ese mismo hilo, comento que el problema es equivalente al de Alhacen y que en Wikipedia publiqué un método para hallar esta elipse como cónica generada por los puntos medios de determinadas elipses con focos comunes \( F_1,F_2 \) y que construía allí. Puedes ver el enlace https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Alhac%C3%A9n y al final del artículo digo cómo construir tales elipses cuyas intersecciones con el círculo dado darán lugar a la cónica buscada (¡¡ Ojo !!, esta cónica no es la elipse solución, pero su intersección con el círculo dará el punto que añadido a los focos sí dará la elipse solución.)

Sí. Lo he visto. En principio no estoy de acuerdo en que el método que propones en Wikipedia para resolver el problema de Alhacén sea correcto. Allí dices:

Para buscar la elipse hacemos lo siguiente:

Se traza un segmento que una el punto medio de los puntos P,Q y el centro de la circunferencia.

Sobre este segmento se marcan 5 puntos y se trazan las elipses con focos P,Q que pasen por ellos.

Se obtienen los puntos M1,....,M5 puntos medios de las intersecciones de la elipses antes trazadas con la circunferencia.

Se determina la cónica que pasa por los 5 puntos M1,...,M5.

La intersección de esta última cónica con la circunferencia es el punto de tangencia común a la circunferencia y la elipse buscada, esto es, el punto de rebote.

Lo que sucede es que estás dando por hecho que los puntos medios de esas intersecciones están sobre una cónica y no creo que eso sea así. Es decir, que la cónica que construyes a partir de sólo cinco puntos concretos del lugar geométrico que describes no coincide con ese lugar geométrico porque éste no es una cónica en general.

Lo que me hace pensar eso es que hay posiciones de la circunferencia y de los focos, como la que he adjuntado en el último dibujo que he subido, en las que el lugar geométrico que muestra Geogebra está muy lejos de ser una cónica.

Un saludo.

[ancape]

Sí. Lo he visto. En principio no estoy de acuerdo en que el método que propones en Wikipedia para resolver el problema de Alhacén sea correcto. Allí dices:

Para buscar la elipse hacemos lo siguiente:

Se traza un segmento que una el punto medio de los puntos P,Q y el centro de la circunferencia.

Sobre este segmento se marcan 5 puntos y se trazan las elipses con focos P,Q que pasen por ellos.

Se obtienen los puntos M1,....,M5 puntos medios de las intersecciones de la elipses antes trazadas con la circunferencia.

Se determina la cónica que pasa por los 5 puntos M1,...,M5.

La intersección de esta última cónica con la circunferencia es el punto de tangencia común a la circunferencia y la elipse buscada, esto es, el punto de rebote.

Lo que sucede es que estás dando por hecho que los puntos medios de esas intersecciones están sobre una cónica y no creo que eso sea así. Es decir, que la cónica que construyes a partir de sólo cinco puntos concretos del lugar geométrico que describes no coincide con ese lugar geométrico porque éste no es una cónica en general.

Lo que me hace pensar eso es que hay posiciones de la circunferencia y de los focos, como la que he adjuntado en el último dibujo que he subido, en las que el lugar geométrico que muestra Geogebra está muy lejos de ser una cónica.

Un saludo.

Ya te dije que la construcción de la cónica a base de 5 elipses no la había demostrado pero que hice montones de pruebas con 6 elipses, y el punto extra que daba la sexta elipse, recorría y se ajustaba sin problemas a la cónica que generan las otras 5. En la hoja de Geogebra que adjunté, prueba a añadir un sexto punto en el segmento entre el punto medio de \( \bar{PQ} \) y \( O \), si lo mueves, verás que el punto que se genera recorre la gráfica en azul claro. Eso me animaba moralmente a creer que el resultado era cierto. Vi que el problema trataba de una familia de elipses homofocales y el punto medio de sus intersecciones con algo fijo. Muy parecido al resultado que probaste para círculos concéntricos. Lo que te pedía es si podías adaptar tu demostración a este caso.
Efectivamente si no se eligen las elipses con el método de completar los focos con un punto como yo he indicado, no obtendremos una cónica.

Saludos

[martiniano]

Hola.

Ya te dije que la construcción de la cónica a base de 5 elipses no la había demostrado pero que hice montones de pruebas con 6 elipses, y el punto extra que daba la sexta elipse, recorría y se ajustaba sin problemas a la cónica que generan las otras 5. En la hoja de Geogebra que adjunté, prueba a añadir un sexto punto en el segmento entre el punto medio de \( \bar{PQ} \) y \( O \), si lo mueves, verás que el punto que se genera recorre la gráfica en azul claro.

Sí. Yo también he estado haciendo pruebas y, en la mayoría de casos el punto recorre una curva que, por lo menos, se parece mucho mucho a una cónica.

Lo que te pedía es si podías adaptar tu demostración a este caso.

Parecía que se debería de poder. Intenté hallar una homografía en el plano que transformase las elipses en circunferencias concéntricas. Eso reduciría esta situación a la que ya hemos demostrado pero no logré nada. Es posible que el motivo por el cual no lo lograra fuera que tal homografía no existe ya que la proposición que se pretende demostrar es falsa. Y por ello me puse a jugar con Geogebra hasta que encontré posiciones que parecen señalar eso.

Efectivamente si no se eligen las elipses con el método de completar los focos con un punto como yo he indicado, no obtendremos una cónica.

No entiendo. ¿A qué te refieres con lo de "completar los focos"?