[simpleimpar]

 

 Hola:

 Se tiene, con \( n \) entero positivo,

 \( (2j + 1)^n - (2k + 1)^n = 2^n(j^n - k^n) + 2^{n-1}n(j^{n-1}-k^{n-1}) + 2^{n-2}C_{n-2}^n(j^{n-2} - k^{n-2}) + ... + 2^2C_2^n(j^2 - k^2) +
 2n(j - k)  \),

 donde los coeficientes \( C_m^n \) son enteros múltiplos del simple \( n \), a saber,

 \(  C_m^n= n\displaystyle\frac{(n-1)!}{m!(n-m)!} = nC_m^{n-1} \)  y si se cumple la ecuación,

 \( (2j + 1)^n - (2k + 1)^n = 2^nh^n  \)    (1)

 será,

 \( (j - k)(2^nf^{n-1)}(j,k) + 2^{n-1}nf^{n-2)}(j,k) + 2^{n-2}nC_2^{n-1}f^{n-3)}(j,k) +... + 2^2nC_{n-2}^{n-1}f(j,k) +2n) = 2^nh^n \),

 donde las \( f^{n-l)}(j,k) \) son formas binarias de grado \( n-l \) con coeficientes iguales a la unidad, en las variables enteras \( j,k \) 

 La potencia \( n \)-sima del número compuesto \( 2^nh^n \) que es diferencia de dos potencias \( n \)-simas, será también 

 producto de otras dos potencias \( n \)-simas,

 \( 2^nh^n = u^nv^n \),

 con
 
 \( u^n = j - k \)

 \( v^n = 2^nf^{n-1)}(j,k) + 2^{n-1}nf^{n-2)}(j,k) + 2^{n-2}nC_2^{n-1}f^{n-3)}(j,k) +... + 2^2nC_{n-2}^{n-1}f(j,k) + 2n  \)

 Como \( v^n  \) es par, será múltiplo de \( 2^n \) y se deberá satisfacer la igualdad,

 \( 2^{n-1}nf^{n-2)}(j,k) + 2^{n-2}nC_2^{n-1}f^{n-3)} (j,k) + ... +2^2nC_{n-2}^{n-1}f(j,k) + 2n = 2^np \)

 Dividiendo por \( 2n \) los dos miembros de esta igualdad resultará,

 \( 2q + 1 = \displaystyle\frac{2^{n-1}p}{n} \)     entero

 y si \( n \) es simple impar, deberá ser divisor de \( p \) con el resultado absurdo de que un número impar deberá ser múltiplo de 2.

 En consecuencia, la ecuación (1) no tiene solución en enteros positivos si \( n \) es simple impar.

 Saludos

[simpleimpar]

 
 Hola

 En la línea 7 donde dice \( f(j,k) \), debe decir \( f^{1)}(j,k) \)

 Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

La potencia \( n \)-sima del número compuesto \( 2^nh^n \) que es diferencia de dos potencias \( n \)-simas, será también 

 producto de otras dos potencias \( n \)-simas,

 \( 2^nh^n = u^nv^n \),

 con
 
 \( u^n = j - k \)

 \( v^n = 2^nf^{n-1)}(j,k) + 2^{n-1}nf^{n-2)}(j,k) + 2^{n-2}nC_2^{n-1}f^{n-3)}(j,k) +... + 2^2nC_{n-2}^{n-1}f(j,k) + 2n  \)

 Esto es falso.  Podría ser que tanto \( (j-k) \) como el otro factor fuesen pares y por tanto la potencia \( 2^n \) se repartirse entre uno y otro factor. De hecho es trivial que si \( n\geq 3 \) impar y  \( x^n-y^n=z^n \) par entonces \( x-y \) es múltiplo de \( 4 \). En tu caso \( x=2j+1 \) e \( y=2k+1 \), equivale  a que \( j-k \) sea múltiplo de \( 2 \).

Saludos.

[simpleimpar]

 
 Hola

 En el caso cúbico se tiene,

 \( (2j + 1)^3 - (2k + 1)^3 = 2^3h^3 \),

 \( 2^3(h^3 + k^3 - j^3) = 3.2^2(j^2 - k^2) + 3.2(j - k) \),

 \( h^3 = [j^2 +jk + k^2 + \displaystyle\frac{3}{2}(j + k) + \displaystyle\frac{3}{2^2}](j - k) \),

 y será,

 \( \displaystyle\frac{1}{2}(j + k) + \displaystyle\frac{1}{4} = p \),     entero,

 por tanto,

 \( 2(j + k) + 1 = 4p \),

 y será un impar igual a un múltiplo de 2, cosa imposible.

 Para exponente 5, se tiene, procediendo de manera análoga,

 \( h^5 = j^5 - k^5 + \displaystyle\frac{5}{2}(j^4 - k^4) +\displaystyle\frac{5}{2}(j^3 - k^3)+\displaystyle\frac{5}{2^2}(j^2 -
 
 k^2)+\displaystyle\frac{5}{2^4}(j - k)  \),

 de donde,

 \( h^5 = (j - k)[j^4 + j^3k + j^2k^2 + jk^3 + k^4 +\displaystyle\frac{5}{2}(j^3 + j^2k + jk^2 + k^3 + j^2 + jk + k^2) + \displaystyle\frac{5}{2^2}
 
 (j + k) + \displaystyle\frac{5}{2^4}]  \),

 y será,

 \( \displaystyle\frac{1}{2}(j^3 + j^2k + jk^2 + k^3 + j^2 + jk + k^2) + \displaystyle\frac{1}{4}(j + k)+\displaystyle\frac{1}{16} = p \),     entero

 de donde,

 \( 8(j^3 + j^2k + jk^2  k^3 + j^2 + jk + k^2) + 4(j +k) + 1 = 16p  \)

 y un impar deberá ser igual a un múltiplo de 2, cosa imposible.

 Para todo exponente impar se llegará de forma semejante a que si la ecuación,

 \( (2j + 1)^n - (2k + 1)^n = 2^nh^n \),

 tiene solución en enteros positivos, se llega a la conclusión absurda de que un impar debe ser igual a un múltiplo de 2.   

 Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

En el caso cúbico se tiene,

 \( (2j + 1)^3 - (2k + 1)^3 = 2^3h^3 \),

 \( 2^3(h^3 + k^3 - j^3) = 3.2^2(j^2 - k^2) + 3.2(j - k) \),

 \( h^3 = [j^2 +jk + k^2 + \displaystyle\frac{3}{2}(j + k) + \displaystyle\frac{3}{2^2}](j - k) \),  (*)

 y será,

\( \displaystyle\frac{1}{2}(j + k) + \displaystyle\frac{1}{4} = p \),     entero,

 Si hubieses leído y/o reflexionado en profundidad sobre la crítica que hice a tu anterior mensajes, no habrías cometido esencialmente el mismo error en tu siguiente propuesta.

 No es cierto que de la expresión (*) se deduzca que \( \displaystyle\frac{1}{2}(j + k) + \displaystyle\frac{1}{4} = p \) tenga que ser entero.

 Como te dije:

Esto es falso.  Podría ser que tanto \( (j-k) \) como el otro factor fuesen pares y por tanto la potencia \( 2^n \) se repartirse entre uno y otro factor. De hecho es trivial que si \( n\geq 3 \) impar y  \( x^n-y^n=z^n \) par entonces \( x-y \) es múltiplo de \( 4 \). En tu caso \( x=2j+1 \) e \( y=2k+1 \), equivale  a que \( j-k \) sea múltiplo de \( 2 \)..

 \( (j-k) \) puede ser par.

 Entonces  \( \displaystyle\frac{3}{2}(j + k) + \displaystyle\frac{3}{2^2}=j+k+1+p \) puede NO ser entero pero multiplicado por \( (j-k) \) si serlo, de manera que la expresión (*):

 \( h^3 = [j^2 +jk + k^2 + \displaystyle\frac{3}{2}(j + k) + \displaystyle\frac{3}{2^2}](j - k) \),  (*)

 igualdad de enteros se cumple sin problemas.

Saludos.

[simpleimpar]

 
  Hola

  Si se cumple la ecuación

  \( (2j + 1)^3 - (2k + 1)^3 = 2^3h^3  \)  (1)
 
  se tiene,

  \( h^3 + k^3 - j^3 = \displaystyle\frac{3}{2^2}(j - k)[2(j + k) +1] \)   (2)

  de donde,

  \( j -k = 2^2q \)  (3)  y  \( 2j + 1 -(2k + 1) = 2^3q \)   (4)

  De (1) y (4) se tiene,

  \( h^3 = mq \)   (5)

  De (2) y (4) es,

  \( h^3 + k^3 -j^3 = 3q[2(j + k) + 1] \)

  y si \( h, k, j,  \) son enteros positivos es,

 \( h + k - j = 3q[2(j + k) + 1] - 3(H + K - J) = 3p \)

 y con (3) y (5) es,

 \( h^3 = (3p + 2^2q)^3 = mq \)

 de donde,

 \( 3^3p^3 = uq  \)

 \( q = \displaystyle\frac{3^3p^3}{u} \)

 y

 \( h = 3p{(\displaystyle\frac{m}{u})^{\displaystyle\frac{1}{3}}} \)

 \( h \) será divisible por el exponente simple 3, a saber, \( h = 3t \)

 Para la (1) se tendrá

\( (2j + 1)^3 -(2k + 1)^3 = 2^3 3^3 t^3 \)

 de donde,

 \( j^3 - k^3 = 3^3t^3 -\displaystyle\frac{3}{2}(j^2 -k^2) -\displaystyle\frac{3}{2^2}(j - k) \)

 y \( j - k \) será divisor de \( 3^3t^3 \) y deberá ser entero el número correspondiente a la forma binaria,

\(  j^2 + jk + k^2 =\displaystyle\frac{3^3t^3}{j-k} - \displaystyle\frac{3}{2}(j + k)  - \displaystyle\frac{3}{2^2} \)

 lo cual no es posible y por tanto no se cumple la ecuación (1) en \( h, k, j,  \) enteros positivos.

 Para cualquier exponente simple impar \( n \), se puede aplicar este procedimiento y se encuentra que \( h \) es múltiplo del exponente considerado

 y el resultado de que debe ser entera y no entera, a la vez, la forma binaria de grado \( n - 1 \) de coeficientes iguales a la unidad, en las

 variables enteras\( j, k \)

 Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

\( 3^3p^3 = uq  \)

 \( q = \displaystyle\frac{3^3p^3}{u} \)

 y

 \( h = 3p{(\displaystyle\frac{m}{u})^{\displaystyle\frac{1}{3}}} \)

 \( h \) será divisible por el exponente simple 3, a saber, \( h = 3t \)

 De ahí no se deduce directamente que necesariamente \( h \) sea múltiplo de \( 3 \). \( (m/u)^{1/3} \) no tiene porque ser entero en principio. Podría ser, por decir algo, \( (m/u)^{1/3}=w/3 \) para cualquier \( w \) no múltiplo de \( 3 \) y así \( h=pw \).

 Pero más aún:

 

Para la (1) se tendrá

\( (2j + 1)^3 -(2k + 1)^3 = 2^3 3^3 t^3 \)

 de donde,

 \( j^3 - k^3 = 3^3t^3 -\displaystyle\frac{3}{2}(j^2 -k^2) -\displaystyle\frac{3}{2^2}(j - k) \)

 y \( j - k \) será divisor de \( 3^3t^3 \) y deberá ser entero el número correspondiente a la forma binaria,

 No es cierto que de ahí se deduzca que \( j-k \) divide a \( 3^3t^3 \). Tienes unos factores que son fracciones. De hecho tienes:

\( (j-k)(j^2+jk+k^2)=3^3t^3-\dfrac{3}{4}(j-k)(2(j+k)+1) \)

 donde \( 2(j+k)+1 \) no es divisible por \( 4 \), así que de hecho \( 3^3t^3 \) NO es divisible por \( j-k \).

Saludos.