[mg]

Hola,

He hecho el siguiente ejercicio pero creo que el resultado del libro está mal
\( p=1+x+x^2 \)
\( q=1+2x^2 \)
\( r=x+x^2 \)

\( f(p)=(2,0,1) \)
\( f(q)=(3,1,0) \)
\( f(r)=(1,-2,3) \)

Se pide calcular la matriz asociada a la aplicación lineal dada por las condiciones anteriores respecto de la base canónica tanto en el espacio de salida como el de llegada.

Yo tomo \( A=\begin{bmatrix}{2}&{3}&{1}\\{0}&{1}&{-2}\\{1}&{0}&{3}\end{bmatrix} \) la cual va de la base dada por p q y r a la canónica. Entonces ahora tendré que calcular la matriz de cambio de base de la canónica a la base p q y r. La cual me sale:

\( M=\begin{bmatrix}{1}&{1/2}&{-1/2}\\{0}&{-1/2}&{1/2}\\{-1}&{1/2}&{1/2}\end{bmatrix} \)

Por tanto la matriz que piden será $$AM=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\\{2}&{-3/2}&{-1/2}\\{-2}&{2}&{1}\end{bmatrix}$$ (multiplico a la derecha porque he construido A de forma que le doy vectores columna multiplicados a la derecha de forma que si le paso el vector con coords canónicas primero le aplico M y lo paso a la base p , q , r y luego lo paso por la matriz A)

Sin embargo no es la matriz que da la solución en el libro. ¿He metido la pata en algún sitio?

[ani_pascual]

Sin embargo no es la matriz que da la solución en el libro. ¿He metido la pata en algún sitio?

Hola:
Lo he hecho de otra manera, y llego al mismo resultado que tú

\( \left\{\begin{array}{l}f(e_1)+f(e_2)+f(e_3)=2e_1+e_3\\f(e_1)+2f(e_3)=3e_1+e_2\\f(e_2)+f(e_3)=e_1-2e_2+3e_3\end{array}\right.\Longrightarrow \left\{\begin{array}{l}f(e_1)=e_1+2e_2-2e_3\\f(e_2)=-\dfrac{3}{2}e_2+2e_3\\f(e_3)=e_1-\dfrac{1}{2}e_2+e_3\end{array}\right.\Longrightarrow B=\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\2&-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\-2&2&1\end{array}\right) \)
Saludos

[delmar]

Hola

Sí, el libro esta incorrecto, sus respuestas son correctas.

Saludos

[ancape]

Hola,

He hecho el siguiente ejercicio pero creo que el resultado del libro está mal
\( p=1+x+x^2 \)
\( q=1+2x^2 \)
\( r=x+x^2 \)

\( f(p)=(2,0,1) \)
\( f(q)=(3,1,0) \)
\( f(r)=(1,-2,3) \)

Se pide calcular la matriz asociada a la aplicación lineal dada por las condiciones anteriores respecto de la base canónica tanto en el espacio de salida como el de llegada.

Yo tomo \( A=\begin{bmatrix}{2}&{3}&{1}\\{0}&{1}&{-2}\\{1}&{0}&{3}\end{bmatrix} \) la cual va de la base dada por p q y r a la canónica. Entonces ahora tendré que calcular la matriz de cambio de base de la canónica a la base p q y r. La cual me sale:

\( M=\begin{bmatrix}{1}&{1/2}&{-1/2}\\{0}&{-1/2}&{1/2}\\{-1}&{1/2}&{1/2}\end{bmatrix} \)

Por tanto la matriz que piden será $$AM=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\\{2}&{-3/2}&{-1/2}\\{-2}&{2}&{1}\end{bmatrix}$$ (multiplico a la derecha porque he construido A de forma que le doy vectores columna multiplicados a la derecha de forma que si le paso el vector con coords canónicas primero le aplico M y lo paso a la base p , q , r y luego lo paso por la matriz A)

Sin embargo no es la matriz que da la solución en el libro. ¿He metido la pata en algún sitio?

Hola

Todos los cálculos que haces son correctos. El resultado que da el libro puede estar mal por: 1) Una errata, 2) El concepto de base canónica

El caso 2 viene a cuento porque ese concepto fue un gran problema que tuve cuando hice la carrera. Siempre se hablaba de base canónica como aquella formada por los vectores (1,0,0,...0), (0,1,0,...,0),,,,,(0,0,....1) pero cuando preguntaba que eran esas n-uplas me respondían que eran las coordenadas en la base canónica. Vamos, como dice la canción 'Eso mismo fue lo que yo le pregunté'. Se me dijo que era la base mas sencilla del espacio vectorial tratado, introduciendo así un concepto subjetivo en la definición.
Finalmente pensé que no existe el concepto base canónica para espacios generales y sólo podemos hablar de ella con propiedad en \( \mathbb{R^n} \) que sí es un espacio formado por n-uplas.
En el caso que expones, bastante gente consideraría como base canónica de los polinomios de segundo grado los tres polinomios \( 1,x,x^2 \) que es lo que tú has hecho para obtener ese resultado. En ese caso \( p=(1,1,1) ,q=(1,0,2), r=(0,1,1) \) y al multiplicar \( AM \) por la matriz \( p,q,r \) (en columnas) se obtiene \( f(p),f(q),f(r) \) pero si el que puso la solución del libro estaba pensando en otro trío sencillo de polinomios de 2º grado como base canónica, el resultado es diferente.

Saludos

[sugata]

Puede que en el libro la base canónica sea con el orden cambiado. \( x^2,x,1 \)
No es habitual, pero alguna vez lo vi.

[ani_pascual]

Sin embargo no es la matriz que da la solución en el libro. ¿He metido la pata en algún sitio?

Hola:
Coincido con el comentario de sugata; ¿podrías poner la matriz que viene en el libro como resultado?
Saludos

[mg]

Gracias por vuestras respuestas, por petición popular pongo la matriz solución del libro

\( \begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\\{-3}&{1}&{2}\\{-2}&{2}&{1}\end{bmatrix} \)

A lo mejor le encontráis sentido con otra base canónica, creo que lo miré a ver cual salía pero no tenía tampoco sentido. Espero sus respuestas.

Gracias a todos

[delmar]

Sencillamente esta incorrecto lo del libro, si se hubiera tomado la canónica de salida (la canónica del espacio de llegada es estándar), en algún orden distinto al \( 1, \ x, \ x^2 \) la nueva matriz resultaría de un intercambio de columnas y eso no sucede.

Saludos

[ani_pascual]

Gracias por vuestras respuestas, por petición popular pongo la matriz solución del libro

\( \begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\\{-3}&{1}&{2}\\{-2}&{2}&{1}\end{bmatrix} \)

A lo mejor le encontráis sentido con otra base canónica, creo que lo miré a ver cual salía pero no tenía tampoco sentido. Espero sus respuestas.

Gracias a todos

Hola:
Tomando como base canónica \( \{x^2,x,1\} \), en ese orden, tanto en el espacio de salida como en el de llegada, obtengo que la matriz asociada a la aplicación lineal es \( \left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\-\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}&2\\1&2&-2\end{array}\right) \), y se ve que las columnas primera y tercera están intercambiadas, respecto a la que se obtiene con la base canónica  \( \{1,x,x^2\} \), tal y como apuntaba delmar
Saludos