[Lourdecita]

Holaa chicos y chicas, necesito ayuda con el siguiente enunciado

Consideremos los subespacios S y T en \(  R^4  \)

\(  \cdot{S= \left<{(5,-1,0,0) ; (-1,3,-1,2); (1,1,-1,2)}\right>}  \)

\(  \cdot{T= \left<{(-1,-2,1,1); (-5,1,0,0); (0,1,0,0) ; (-2,4,0,0)}\right>}  \)

Cual de las siguientes afirmaciones es correcta?

A) \(  S=T  \) y tienen dimensión 2

B) \(  S\neq T  \)  y se cumple que dim(S) < dim(T)

C) \(  S=T  \) y tienen dimensión 3

D) \(  S \neq T  \) pero tienen la misma dimensión

Me sale que la respuesta correcta es la D, pero nose como justificarla, pueden ayudarme por favor?

[sugata]

No he hecho las cuentas, pero la justificación es la siguiente.
Primero la dimensión debe ser menor de 4, ya que de ser 4 sería todo erre cuatro y serían iguales.
Lo segundo es que los vectores no generen el mismo subespacio, es decir que no sean iguales o proporcionales o de unos se puedan transformar en los otros.

[Luis Fuentes]

Hola

No he hecho las cuentas, pero la justificación es la siguiente.
Primero la dimensión debe ser menor de 4, ya que de ser 4 sería todo erre cuatro y serían iguales.
Lo segundo es que los vectores no generen el mismo subespacio, es decir que no sean iguales o proporcionales o de unos se puedan transformar en los otros.

En concreto.

1) Comprueba que la matriz formada por los tres generadores de \( S \) tiene rango \( 3 \) y por tanto \( dim(S)=3 \). Para el rango lo mejor es que escalones la matriz por filas.

2) Comprueba que la matriz formada por los cuatro generadores de \( T \) tiene rango \( 3 \) y por tanto \( dim(T)=3 \). Para el rango lo mejor es que escalones la matriz por filas.

3) Comprueba que la matriz formada por las generadores de \( S \) y \( T \) tiene rango \( 4 \) y por tanto \( dim(S+T)>dim(S) \) y \( S\neq T \). Para hacer esto cómodamente utiliza las filas ya escalonadas que obtuviste en (1) y (2).

Saludos.

[electron]

Una posible forma es colocar los vectores generadores de S y T en las filas de sendas matrices \( A \) y \( B \) y calcular sus rangos. En este caso, puedes comprobar que \( rgA=rgB=3 \), luego \( dim(S)=dim(T)=3 \).

Después pones todos los vectores de ambos subespacios en una única matriz \( C \) y calculas su rango, que resulta ser \( dim(C)=4 \). Por tanto, la suma de subespacios no tiene la misma dimensión que los espacios por separado, luego \( S\neq T \).

La respuesta es la D.

Saludos