Hola, me parece super difícil de resolver pero no tanto de plantear, no he mirado la wiki para no alienarme, y de Euler , siempre he sabido buenas cosas pero de esto no conocía nada, así que va mi improvisado planteo.
para calcular el circuncentro
$$R^2=(x_A-x_{cc})^2+(y_A-y_{cc})^2=(x_B-x_{cc})^2+(y_B-y_{cc})^2=(x_C-x_{cc})^2+(y_C-y_{cc})^2$$
Para el incentro es más difícil
La recta que contiene el lado AB
$$\dfrac{y_A-y_B}{x_A-x_B}=\dfrac{y_{iAB}-y_B}{x_{iAB}-x_B}$$ donde iAB es el punto de tangencia de la circunferencia inscrita sobre el lado AB y es donde se corta la normal y el lado AB a 90°
así que la recta que cruza pasa por el incentro
$$-\dfrac{x_A-x_B}{y_A-y_B}=\dfrac{y_{ic}-y_{iAB}}{x_{ic}-x_{iAB}}$$
se debe cumplir que
$$r^2=(x_{ic}-x_{iAB})^2+(y_{ic}-y_{iAB})^2$$
planteando lo mismo para los otros dos lados
$$\dfrac{y_B-y_C}{x_B-x_C}=\dfrac{y_{iBC}-y_C}{x_{iBC}-x_C}$$ donde iBC es el punto de tangencia de la circunferencia inscrita sobre el lado BC
$$-\dfrac{x_B-x_C}{y_B-y_C}=\dfrac{y_{ic}-y_{iBC}}{x_{ic}-x_{iBC}}$$
$$r^2=(x_{ic}-x_{iBC})^2+(y_{ic}-y_{iBC})^2$$
$$\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{y_{iCA}-y_A}{x_{iCA}-x_A}$$ donde iCA es el punto de tangencia de la circunferencia inscrita sobre el lado CA
$$-\dfrac{x_C-x_A}{y_C-y_A}=\dfrac{y_{ic}-y_{iCA}}{x_{ic}-x_{iCA}}$$
$$r^2=(x_{ic}-x_{iCA})^2+(y_{ic}-y_{iCA})^2$$
Luego hay que despejar y calcular
$$d=\sqrt{(x_{ic}-x_{cc})^2+(y_{ic}-y_{cc})^2}$$
Hecho esto miro como lo hizo Euler para ver lo que no se me ocurrió.
Saludos
