[Rania]

Hola a todos, estaba haciendo este ejercicio y me estoy trabando para despejar y resolver el sistema de ecuaciones para hallar los puntos críticos.

El ejercicio dice lo siguiente:

1) La intersección del plano $$x+y+2z = 2$$ con el paraboloide $$z=x^2+y^2$$ es una elipse. Encontrar los puntos de dicha elipse que son los más cercanos y los más lejanos al origen.

RESOLUCIÓN

La distancia de un punto cualquiera de la elipse al origen es $$\left\|{(x,y,z)-(0,0,0)}\right\|  = \left\|{(x,y,z)}\right\|$$
Esa sería la función que quiero minimizar y maximizar , pero trabajar con la raíz cuadrada puede ser engorroso para los cálculos. Entonces como la raíz cuadrada es una función creciente, mientras la suma de cuadrados de adentro de la raíz sea grande , la raíz será una cantidad grande, y si  fuera chica , la raíz sería aún más chica.
Usando este "argumento" (quisiera escribirlo mejor), lo que hice fue tomar $$ f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 $$  y al plano y al paraboloide  los escribí como superficies de nivel  de las funciones $$ g(x,y,z) = x + y + 2z $$ , $$h(x,y,z) = x^2+y^2- z $$ , siendo $$ g = 2$$ y $$ h =0$$

Entonces busco extremos de $$ f(x,y,z)$$ restringida a $$(g = 2)\cap{(h=0)}$$
Como $$ f,g,h $$ son $$ C^1$$ , y me fijé que los gradientes de g y h no fueran múltiplos en ningún punto de la curva intersección ,  entonces usé multiplicadores de Lagrange para obtener los puntos candidatos a extremos.

$$\nabla f (x,y,z) = (2x,2y,2z) $$
$$\nabla g (x,y,z) = (1,1,2) $$
$$\nabla h(x,y,z) = (2x,2y,-1) $$

El sistema al que llego y me hice lío para llegar algún punto crítico es :
$$\begin{cases}{2x=\lambda+\mu 2x}\\2y=\lambda+\mu 2y \\2z=2\lambda-\mu \\x+y+2(x^2+y^2)=2 \end{cases}$$

En este punto , es donde traté de ir despejando las variables , pero no puedo llegar a un valor específico para x,y ,z  ,lambda , mu. ¿Alguna sugerencia para tratar con este sistema? ¿ Puedo armarme una matriz para resolver esto? Las resoluciones de ejercicios parecidos no vi que armaran matrices, siempre es despejar a mano.
La idea sería no pasar por alto soluciones del sistema.
Gracias desde ya por leer!

[ani_pascual]

Hola a todos, estaba haciendo este ejercicio y me estoy trabando para despejar y resolver el sistema de ecuaciones para hallar los puntos críticos.

El ejercicio dice lo siguiente:

1) La intersección del plano $$x+y+2z = 2$$ con el paraboloide $$z=x^2+y^2$$ es una elipse. Encontrar los puntos de dicha elipse que son los más cercanos y los más lejanos al origen.

RESOLUCIÓN

La distancia de un punto cualquiera de la elipse al origen es $$\left\|{(x,y,z)-(0,0,0)}\right\|  = \left\|{(x,y,z)}\right\|$$
Esa sería la función que quiero minimizar y maximizar , pero trabajar con la raíz cuadrada puede ser engorroso para los cálculos. Entonces como la raíz cuadrada es una función creciente, mientras la suma de cuadrados de adentro de la raíz sea grande , la raíz será una cantidad grande, y si  fuera chica , la raíz sería aún más chica.
Usando este "argumento" (quisiera escribirlo mejor), lo que hice fue tomar $$ f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 $$  y al plano y al paraboloide  los escribí como superficies de nivel  de las funciones $$ g(x,y,z) = x + y + 2z $$ , $$h(x,y,z) = x^2+y^2- z $$ , siendo $$ g = 2$$ y $$ h =0$$

Entonces busco extremos de $$ f(x,y,z)$$ restringida a $$(g = 2)\cap{(h=0)}$$
Como $$ f,g,h $$ son $$ C^1$$ , y me fijé que los gradientes de g y h no fueran múltiplos en ningún punto de la curva intersección ,  entonces usé multiplicadores de Lagrange para obtener los puntos candidatos a extremos.

$$\nabla f (x,y,z) = (2x,2y,2z) $$
$$\nabla g (x,y,z) = (1,1,2) $$
$$\nabla h(x,y,z) = (2x,2y,-1) $$

El sistema al que llego y me hice lío para llegar algún punto crítico es :
$$\begin{cases}{2x=\lambda+\mu 2x}\\2y=\lambda+\mu 2y \\2z=2\lambda-\mu \\x+y+2(x^2+y^2)=2 \end{cases}$$

En este punto , es donde traté de ir despejando las variables , pero no puedo llegar a un valor específico para x,y ,z  ,lambda , mu. ¿Alguna sugerencia para tratar con este sistema? ¿ Puedo armarme una matriz para resolver esto? Las resoluciones de ejercicios parecidos no vi que armaran matrices, siempre es despejar a mano.
La idea sería no pasar por alto soluciones del sistema.
Gracias desde ya por leer!

Hola:
Si no recuerdo mal, según el método de los multiplicadores de Lagrange, los puntos críticos de la función \( f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 \) sujetos a las condiciones de ligadura \( x^2+y^2-z=0 \) y \( x+y+2x-2=0 \), se encuentran entre los extremos de la función auxiliar \( {\cal L}(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-\lambda (x^2+y^2-z)-\mu (x+y+2z-2) \). Así pues, te sugiero que plantees y resuelvas el sistema \( \nabla {\cal L}=0 \) y halles los candidatos... Son cinco ecuaciones y cinco incógnitas \( (x,y,z,\lambda,\mu) \)
Saludos

[Rania]

Hola , si el sistema al que llegué es :
$$\begin{cases}{2x=\lambda+\mu 2x}\\2y=\lambda+\mu 2y \\2z=2\lambda-\mu \\x+y+2(x^2+y^2)=2 \end{cases}$$

De lo que sería la quinta ecuación $$x^2+y^2 - z = 0 $$ , despejé z y lo reemplacé en la ecuación 4 , entonces el sistema se redujo a 4 ecuaciones, el problema es como despejar para llegar y que no sea tan engorroso, pero bueno seguiré intentando, muchas gracias.

[ani_pascual]

Hola , si el sistema al que llegué es :
$$\begin{cases}{2x=\lambda+\mu 2x}\\2y=\lambda+\mu 2y \\2z=2\lambda-\mu \\x+y+2(x^2+y^2)=2 \end{cases}$$

De lo que sería la quinta ecuación $$x^2+y^2 - z = 0 $$ , despejé z y lo reemplacé en la ecuación 4 , entonces el sistema se redujo a 4 ecuaciones, el problema es como despejar para llegar y que no sea tan engorroso, pero bueno seguiré intentando, muchas gracias.

Hola:
Quizás me he equivocado en los cálculos, pero por si quieres comparar con los tuyos te paso los candidatos

Spoiler

\( (x,y,z)=(-1,-1,2) \) con \( \lambda =\dfrac{8}{3} \) y \( \mu=\dfrac{10}{3} \)
\( (x,y,z)=\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right) \) con \( \lambda =\dfrac{1}{3} \) y \( \mu=\dfrac{2}{3} \)

[cerrar]

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola , si el sistema al que llegué es :
$$\begin{cases}{2x=\lambda+\mu 2x}\\2y=\lambda+\mu 2y \\2z=2\lambda-\mu \\x+y+2(x^2+y^2)=2 \end{cases}$$

De lo que sería la quinta ecuación $$x^2+y^2 - z = 0 $$ , despejé z y lo reemplacé en la ecuación 4 , entonces el sistema se redujo a 4 ecuaciones, el problema es como despejar para llegar y que no sea tan engorroso, pero bueno seguiré intentando, muchas gracias.

Es que si quieres descartar la quinta ecuación tomando \( z=x^2+y^2 \), tienes que sustituir \( z \) en TODAS las demás; de manera que también la tercera quedaría:

\( 2x^2+2y^2=2\lambda-\mu. \)

Saludos.