No entiendo lo que planteas. Parece que llames P tanto a lo que quieres demostrar como a los términos de la sucesión.
El caso base es \( (a_1: a_0) = 1 \), cosa que ya has comprobado.
Ahora supones que \( (a_{n+1}: a_n) = 1 \) y tienes que probar que \( (a_{n+2}: a_{n+1})= 1 \).
Antes de entrar en ello, conviene observar otro hecho que se prueba fácilmente por inducción:
\( a_n \) es impar.
En efecto, esto es cierto para \( a_0=7 \) y, si es cierto para todo \( i<n \), vamos a ver que también es cierto para \( a_n \).
Distinguimos casos: si \( n = 0 \) o \( n = 1 \), está claro que \( a_n \) es impar.
Si \( n>1 \), podemos llamar \( k = n-2 \), y sabemos, por hipótesis de inducción que \( a_k \) y \( a_{k+1} \) son impares. Entonces \( a_n = a_{k+2}= 5a_{k+1}-2a_k \) es impar, porque es suma de un impar y un par.
Ahora que ya sabemos que todos los \( a_n \) son impares pasamos a probar que \( (a_{n+2}: a_{n+1})= 1 \) sabiendo que \( (a_{n+1}: a_n) = 1 \).
Si \( (a_{n+2}: a_{n+1})\neq 1 \), existirá un primo \( p \) tal que \( p\mid a_{n+2} \) y \( p\mid a_{n+1} \). Como \( 2a_n = 5a_{n+1}-a_{n+2} \), tenemos que \( p\mid 2a_n \), luego \( p\mid 2 \) o bien \( p\mid a_n \).
Lo primero es imposible, porque entonces \( p= 2 \) y \( 2\mid a_{n+1} \), cuando ya hemos visto que todos los términos son impares. Por lo tanto \( p\mid a_n \), pero entonces \( (a_{n+1}:a_n)\neq 1 \), en contra de lo supuesto. Esto termina la prueba.
