[nktclau]

Hola!  buenas tardes Querido FORO, espero todos se encuentren más que bien.

Necesito de vuestra ayuda , por favor, con la siguiente demostración. Sean \( a \in \mathbb{Z} \), \( b, m \in \mathbb{N} \) tales que \( a^m\equiv{1}(b) \), probar que si \( k \) es el mínimo número natural tal que \( a^k\equiv{1(b)} \) entonces \( k|m \)

por hipótesis \( a^k\equiv{1(b)} \) y \( a^m\equiv{1(b)} \) con \( k \in \mathbb{N} \) el mínimo. Por lo tanto \( k\leq{m} \)

sumando miembro a miembro de la congruencia tengo que \( a^m-a^b\equiv{0(b)}\Longleftrightarrow{a^m\equiv{a^k}}(b) \)

Como \( k\leq{m} \) si supongo que \( k=m \) se verifica que \( k|m=k \) es trivial

Si \( k<m\Rightarrow{a^m=a^k \cdot a^{m-k}} \) como \( a^k\equiv{1(b)} \)
                                                                                             
                                          \( a^k \cdot a^{m-k}\equiv{a^{m-k}}(b)  \) y no he podido llegar a probar que \( k|m \) 
Muchas Gracias!!

Saludos 

[Luis Fuentes]

Hola

Hola!  buenas tardes Querido FORO, espero todos se encuentren más que bien.

Necesito de vuestra ayuda , por favor, con la siguiente demostración. Sean \( a \in \mathbb{Z} \), \( b, m \in \mathbb{N} \) tales que \( a^m\equiv{1}(b) \), probar que si \( k \) es el mínimo número natural tal que \( a^k\equiv{1(b)} \) entonces \( k|m \)

por hipótesis \( a^k\equiv{1(b)} \) y \( a^m\equiv{1(b)} \) con \( k \in \mathbb{N} \) el mínimo. Por lo tanto \( k\leq{m} \)

 Puede escribir:

\( m=c\cdot k+r  \) con \( r=0,1,\ldots,k-1 \)

 donde \( c,r \) son respectivamente cociente y resto de dividir \( m \) por \( k \).

 Entonces trabajando módulo \( b \):

\(  1\equiv a^m=a^{ck+r}\equiv (a^k)^c\cdot a^r\equiv 1^c\cdot a^r\cdot a^r \)

 como \( k<r \) y \( k \) es el menor natural tal que \( a^k\equiv 1 \), necesariamente \( r=0 \) y \( m=c\cdot k \).

Saludos.

[nktclau]

Muchísimas Gracias Luis Fuentes