Buenas tardes
Querido FORO! 
espero todos estén más que bien
Paso por aquí, pues me he
trabado, con la siguiente demostración.
Debo probar que \( 9|7 \cdot 5^{2n}+2^{4n+1} \forall{n} \in \mathbb{N} \)
Pruebo por inducción sobre \( n \), siendo \( p(n): 9|7 \cdot 5^{2n}+2^{4n+1} \)
El caso base, \( P(1) \), es verdadero
DPQ: \( p(h)\Longrightarrow{p(h+1)} \) es verdadero
Hipótesis inductiva Supongo es verdadero, \( p(h):9|7 \cdot 5^{2h}+2^{4h+1} \)
Tesis Inductiva DPQ: \( p(h+1): 9|7 \cdot 5^{2(h+1)}+2^{4(h+1)+1}\Leftrightarrow{9|7 \cdot 5^{2h+2}+2^{4h+5}} \) es verdadero
DemostraciónPor hipótesis inductiva \( 9|7 \cdot 5^{2h}+2^{4h+1}\Leftrightarrow{7 \cdot 5^{2h}+2^{4h+1}\equiv{0(9)}}\Leftrightarrow{7 \cdot 5^{2h}\equiv{-2^{4h+1}}}(9) \)
\( 7 \cdot 5^{2h}\equiv{-2^{4h+1}}(9) \Leftrightarrow{} \)
\( 7 \cdot 5^{2h} \cdot 5^2 \equiv{-2^{4h+1}} \cdot 5^2 (9) \Leftrightarrow{} \)
\( 7 \cdot 5^{2h+2} \equiv{-2^{4h+1}} \cdot 5^2 (9) \)
APor definición de congruencia y partiendo nuevamente de la hipótesis inductiva
\( 2^{4h+1} \equiv -7 \cdot 5^{2h}(9)\Leftrightarrow{} \)
\( 2^{4h+1} \cdot 2^4 \equiv -7 \cdot 5^{2h} \cdot 2^4(9)\Leftrightarrow{} \)
\( 2^{4h+5} \equiv -7 \cdot 5^{2h} \cdot 2^4(9) \)
BSumando
A y
B\( 7 \cdot 5^{2h+2} \equiv{-2^{4h+1}} \cdot 5^2 (9) \)
\( 2^{4h+5} \equiv -7 \cdot 5^{2h} \cdot 2^4(9) \)
\( 7 \cdot 5^{2h+2}+2^{4h+5}\equiv{}{-2^{4h+1}} \cdot 5^2 -7 \cdot 5^{2h} \cdot 2^4(9) \)
Pero no se como hacer para poder
llegar a que \( {-2^{4h+1}} \cdot 5^2 -7 \cdot 5^{2h} \cdot 2^4(9) \) es \( \equiv{0(9)} \)
Muchas Gracias
Saludos
