[phnez]

Hola! Tengo que resolver este problema, necesitaría una ayuda para empezar a resolver ambos incisos.
Adjunto la imagen con el problema.

 Dos ciclistas A y B deciden ir del punto1 al punto 2 por diferentes caminos. El ciclista A va a ir por un sendero semicircular de radio \( R=100m \), pedaleando con rapidez constante de \( 10.8km/h \). El ciclista B prefiera acortar camino, yendo por un sendero recto (línea punteada de la figura). En el instante mostrado, el ciclista B lleva una rapidez de \( 1m/s \), la cual aumenta a razón de \( 0.05m/s^2 \).



 a) Encuentre la velocidad relativa de A visto desde B en el instante mostrado en la figura.
 b) Calcule la aceleración relativa de A respecto de B en dicho instante.

Saludos!
Mensaje corregido desde la administración.

[ani_pascual]

Hola! Tengo que resolver este problema, necesitaría una ayuda para empezar a resolver ambos incisos.
Adjunto la imagen con el problema.
Saludos!

Hola:
Se me ocurre que podías hacer lo siguiente:
Hallamos primero la velocidad angular de A:
\( v_A=\omega R\Longrightarrow \omega=\dfrac{3}{100}=0,03\,rad/s \). El tiempo transcurrido una vez que ha barrido un ángulo \( \varphi=30^{\circ} \) se deduce de \( \varphi=\omega t\Longrightarrow t=\dfrac{\pi /6}{0,03}=17,453\,s \).  Así pues, la velocidad inicial de B se deduce de \( v_B=v_0+at\Longrightarrow 1=v_0+0,05\cdot 17,453\Longrightarrow v_0=0,127\,m/s \). Ya podemos calcular la distancia recorrida por B en línea recta \( s_B=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2\Longrightarrow s_B=9,838\,m \).
Resolviendo ahora el triángulo AOB, hallamos la distancia \( d_{AB} \) entre A y B en dicho instante, usando el teorema del coseno. \( d_{AB}^2=100^2+(100-9,838)^2-2\cdot 100\cdot 9,838\cdot\cos 30^{\circ}\Longrightarrow d_{AB}=50,126\,m \)
Por tanto, la velocidad relativa de A respecto de B es \( v_{BA}=\dfrac{50,126}{17,453}=2,87\,m/s \)
PD; Para insertar la imagen en el cuerpo del mensaje echa un vistazo al enlace  Como insertar imágenes en el mensaje

[phnez]

Hola! Muchas gracias por responder. El resultado que me da la guia es \( V_{A/B}=(0,5 i + 2,6 j) m/s  \)
Y para la aceleración: \( A_{A/B}=(0,028 i - 0.045 j) m/s^2  \)

[ani_pascual]

Hola! Muchas gracias por responder. El resultado que me da la guia es \( V_{A/B}=(0,5 i + 2,6 j) m/s  \)
Y para la aceleración: \( A_{A/B}=(0,028 i - 0.045 j) m/s^2  \)

Hola:
Sí, te había dado solo el módulo. Y sí, la expresión vectorial me sale \( \vec{v}_{A/B}=0,5\textbf{i}+2,6\textbf{j}\,\, (m/s) \)
Lo que está entre paréntesis no está bien.
(((La proyección de A sobre el diámetro es \( 100-100\cos 30^{\circ}=13,39\,m \), con lo cual la distancia en el eje horizontal que ha recorrido A respecto a B es \( 13,39-9,84=3,55\,m \) y en el eje vertical \( 100\sen 30^{\circ}=50\,m \). Así pues \( \vec{r}_{A/B}=3,55 i+50j\Longrightarrow \vec{v}_{A/B}=\dfrac{\vec{r}_{A/B}}{t}=0,2i+2,86j\,\,m/s \) cuyo módulo es \( v_{A/B}=\sqrt{0,2^2+2,86^2}=2,87\,\,m/s \))))
Respecto a la aceleración relativa, me sale otro resultado \( \vec{a}_{A/B}=\dfrac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}=\dfrac{(0,5i+2,6j)-(-0,127i+3j)}{17,45}=0,036i-0,023j\,\,(m/s^2) \)
Tendrémos que revisarlo, 
Saludos
Corregido
Hola:
Ya he identificado algún error.
\( \vec{v}_A=\vec{v}_B+\vec{v}_{A/B}\Longleftrightarrow
(3\cos 60^{\circ} i+3\sen 60^{\circ}j)=i+\vec{v}_{A/B}\Longrightarrow \boxed{\vec{v}_{A/B}=0,5i+2,6j\,\,(m/s)} \)
Respecto a la aceleración
Esto está mal
\( \vec{a}_A=\vec{a}_B+\vec{a}_{A/B}\Longleftrightarrow \dfrac{(1,5i+2,6j)-3j}{17,45}=0,05i+\vec{a}_{A/B}\Longrightarrow
\vec{a}_{A/B}=0,036i-0,023j\,\,(m/s^2) \)
Tampoco coincide con el resultado de la guía. 
La solución correcta en este mensaje

[Richard R Richard]

Tampoco coincide con el resultado de la guía. 

Hola , cuándo A viaja a rapidez constante por un círculo, este está acelerado con aceleración centrípeta de módulo  $$|a_c|=|\omega^2r|$$ la cual ha tiene dirección radial  y habría que descomponerla en la direcciones x e y por trigonometría puesto que conocemos el ángulo de $$\pi/6$$,  así entonces tienes las componentes de la aceleración de A  y cuando le restes vectorialmente las componentes de la aceleración de B tendrás la aceleración relativa $$\vec a_{A/B}$$

Aver si phnez, nos presenta el desarrollo  y puede decir si ahora el resultado le coincide con el solucionario.

Pd: Hola ani_pascual, creo que calculaste la aceleración media, pero no es lo que piden que es la aceleración instantánea.

Saludos

[delmar]

Hola

Considerando una referencia absoluta XY con origen en el centro de la circunferencia, la posición relativa de A respecto a B \( \vec{r(A/B)}=\vec{r(A)}-\vec{r(B)}=(-100 cos \theta \vec{i}+100 sen \theta \vec{j})-x_B\vec{i} \) donde \( \vec{r(A)} \  , \ \vec{r(B)} \) son las posiciones absolutas respecto a XY de A y B respectivamente, \( \theta \) es el ángulo que forma A y el centro de la circunferencia, la velocidad y aceleración relativa por derivación será:

\( \vec{V(A/B)}=(100 sen \theta \theta' \vec{i}+100 cos \theta \theta' \vec{j})-x'_B \vec{i} \)

En el instante mostrado \( \theta=\displaystyle\frac{\pi}{6}, \ x'_B=1 \) una observación importante es que la rapidez absoluta de B (módulo de su velocidad absoluta), es \( 100 \theta'=\displaystyle\frac{10.8 \ km}{h}=3 \ m/s \Rightarrow{\theta'=0.03} \) constante para todo t


La aceleración se obtiene derivando nuevamente :

\( \vec{a(A/B)}=(100 \  cos \theta \  \theta'^2 \ \ \vec{i}-100 \ sen \theta \ \theta'^2 \ \ \vec{j})-x''_B \vec{i}=(100 \  cos \theta \  \theta'^2-x''_B) \ \ \vec{i}-100 \ sen \theta \ \theta'^2 \ \ \vec{j} \)

Donde \( x''_B=0.05 \ \ m/s^2 \), ahora pues es cuestión de operar.


Saludos

[Richard R Richard]

La aceleración se obtiene derivando nuevamente :

\( \vec{a(A/B)}=(100 \  cos \theta \  \theta'^2 \ \ \vec{i}-100 \ sen \theta \ \theta'^2 \ \ \vec{j})-x''_B \vec{i}=(100 \  cos \theta \  \theta'^2-x''_B) \ \ \vec{i}-100 \ sen \theta \ \theta'^2 \ \ \vec{j} \)

Donde \( x''_B=0.05 \ \ m/s^2 \), ahora pues es cuestión de operar.

Solo por aclarar  que ambos decimos lo mismo con otra notación , esta ecuación

\( \vec{a(A/B)}=(100 \  cos \theta \  \theta'^2 \ \ \vec{i}-100 \ sen \theta \ \theta'^2 \ \ \vec{j})-x''_B \vec{i}=(100 \  cos \theta \  \theta'^2-x''_B) \ \ \vec{i}-100 \ sen \theta \ \theta'^2 \ \ \vec{j} \)


es equivalente a decir, que si la aceleración centrípeta es \( |a_c|=\omega^2R \) la podemos escribir como

\( \vec{a(A/B)}=(R\  cos \theta \  \omega^2 \ \ \vec{i}-R\ sen \theta \ \omega^2 \ \ \vec{j})-a_B \vec{i}=\omega^2R \cos \theta \vec{i} -a_B\vec{i}-\omega^2R\sin \theta  \vec{j}=\omega^2R(\cos\theta \vec i-\sin\theta \vec j)-a_B\vec{i}=|a_c|(\cos\theta \vec i-\sin\theta \vec j)-a_B\vec{i}=\vec a_A-\vec a_B \)

Donde  $$|a_c|\cos\theta$$ es la componente de la aceleración centrípeta en la dirección x 
y $$-|a_c|\sin\theta$$ es la componente de la aceleración centrípeta en la dirección y 

Saludos

[ani_pascual]

Hola:
Ya lo siento, no sé en qué estaba pensando ayer. Para hallar la aceleración relativa de A respecto a B, hay que tener en cuenta que B solo se traslada (no rota) respecto al origen (centro de la circunferencia) y que A solo lleva aceleración normal. \( \vec{a}_A=\dfrac{3^2}{100}(\cos 30^{\circ}i-\sen 30^{\circ}j) \) con lo que \( \vec{a}_A=\vec{a}_B+\vec{a}_{A/B}\Longleftrightarrow \vec{a}_{A/B}=(0,0779i-0,045j)-0,05i=\boxed{0,028i-0,045j\,\,(m/s^2)} \)
Acabo de ver que ya lo han resuelto Richard R Richard y delmar
Saludos