[Luis Fuentes]

Hola

F(x,y) es un polinomio de segundo grado. En tres puntos \( (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3) \) toma el mismo valor k. Elegimos unos ejes en los que la recta y=k sea el eje x. En tales ejes F(x,y) tiene tres raíces. Que yo sepa, un ecuación de 2º grado sólo tiene dos raíces. Lo que dices demuestra que F(x,y) no puede ser hipérbola. Además, si lo fuese, la suma de cuadrados de distancias a los vértices podría hacerse tan grande como se quiera, lo que es geométricamente imposible.

No le veo sentido lo que dices.

1) Entiendo que por \( F(x,y) \) te refieres a la función suma de los cuadrados de distancias de un punto \( P(x,y) \) a los vértices \( A,B,C \).

2) Es cierto que \( F(x,y) \) es un polinomio de segundo grado, pero en DOS VARIABLES.

3) A partir de aquí no veo como sigues. Lo que queremos probar es que \( F(x,y) \) es constante CUANDO \( (x,y) \) varía sobre una circunferencia. Sabemos que en tres puntos de la misma toma un mismo valor. Y tu en tu dibujo parecías afirmar que, como la circunferencia es también de grado dos eso llega para justificar que esa función es constante sobre ella. No veo como. Y mi ejemplo de la hipérbola pretende ilustrar que ésta cumple esas dos mismas condiciones (ser de grado dos y tomar el mismo valor en tres puntos), pero la distancia no es constante sobre ella.

4) Es cierto que un polinomio de grado dos en UNA VARIABLE si toma el mismo valor en tres puntos es constante; pero en DOS VARIABLES no es cierto.

Si se puede arreglar un poco la idea, pero no tiene nada que ver con la propiedad (4).

Es fácil ver que la cónica \( F(x,y)=cte \) es una circunferencia. Si tomamos como esa constante el valor \( cte=F(P_1)=F(P_2)=F(P_3) \) siendo \( P_i \) los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita, entonces la circunferencia \( F(x,y)=cte \) coincide con la circunferencia inscrita en tres puntos y por tanto son la misma circunferencia (ya que tres puntos la determinan unívocamente). Luego efectivamente si \( (x,y) \) varía sobre la circunferencia inscrita \( F(x,y) \) es constante.

Saludos.

P.D. El recíproco es cierto; se puede ver con unas cuentas (quizá de otras formas). Mañana lo escribo.

[ani_pascual]

Hola
F(x,y) es un polinomio de segundo grado. En tres puntos \( (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3) \) toma el mismo valor k. Elegimos unos ejes en los que la recta y=k sea el eje x. En tales ejes F(x,y) tiene tres raíces. Que yo sepa, un ecuación de 2º grado sólo tiene dos raíces. Lo que dices demuestra que F(x,y) no puede ser hipérbola. Además, si lo fuese, la suma de cuadrados de distancias a los vértices podría hacerse tan grande como se quiera, lo que es geométricamente imposible.

Saludos

Hola:
No sé, igual digo una sandez, pero creo que existen polinomios en dos indeterminadas de segundo grado que tienen cuatro raíces. Estoy pensando, por ejemplo, en la intersección de dos elipses \( \dfrac{x^2}{4}+y^2=1\\x^2+\dfrac{y^2}{4}=1 \). Las raíces del polinomio
\( F(x,y)=\dfrac{x^2}{4}+y^2-x^2-\dfrac{y^2}{4}=0 \) son cuatro. ¿O estoy equivocado?

[Luis Fuentes]

Hola

No sé, igual digo una sandez, pero creo que existen polinomios en dos indeterminadas de segundo grado que tienen cuatro raíces. Estoy pensando, por ejemplo, en la intersección de dos elipses \( \dfrac{x^2}{4}+y^2=1\\x^2+\dfrac{y^2}{4}=1 \). Las raíces del polinomio
\( F(x,y)=\dfrac{x^2}{4}+y^2-x^2-\dfrac{y^2}{4}=0 \) son cuatro. ¿O estoy equivocado?

Correcto.

Como comenté antes la clave aquí es comprobar primero que \( F(x,y)=cte \) no sólo es una curva de grado dos, sino que es una circunferencia. Entonces la intersección de dos circunferencias puede ser vacía, un punto, dos puntos o coinciden.

Saludos.

[ancape]

2) Es cierto que \( F(x,y) \) es un polinomio de segundo grado, pero en DOS VARIABLES.

...........
4) Es cierto que un polinomio de grado dos en UNA VARIABLE si toma el mismo valor en tres puntos es constante; pero en DOS VARIABLES no es cierto.

.......

Hola

F(x,y) = k es la ecuación de un cónica. La intersección de una cónica y una recta es EXACTAMENTE dos puntos reales o complejos salvo que degenere en una recta.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

F(x,y) = k es la ecuación de un cónica. La intersección de una cónica y una recta es EXACTAMENTE dos puntos reales o complejos salvo que degenere en una recta.

¿Pero de qué recta hablas y qué tiene qué ver eso con que \( F(x,y) \) cuando la evaluamos precisamente sobre la circunferencia inscrita sea constante?.

Saludos.

[ancape]

...... Las raíces del polinomio
\( F(x,y)=\dfrac{x^2}{4}+y^2-x^2-\dfrac{y^2}{4}=0 \) son cuatro. ¿O estoy equivocado?

Hola

Yo no veo 4, sino que F(x,y)=0 es el par de rectas y=x, y=-x

Saludos

[ancape]

........

¿Pero de qué recta hablas y qué tiene qué ver eso con que \( F(x,y) \) cuando la evaluamos precisamente sobre la circunferencia inscrita sea constante?.

......

Hola
Piensa un poco en lo que estoy diciendo y estoy seguro que lo entenderás.
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

...... Las raíces del polinomio
\( F(x,y)=\dfrac{x^2}{4}+y^2-x^2-\dfrac{y^2}{4}=0 \) son cuatro. ¿O estoy equivocado?

Yo no veo 4, sino que F(x,y)=0 es el par de rectas y=x, y=-x

Más allá de las cuentas (no se muy bien lo que ha querido hacer ani_pascual a nivel operativo), lo que es evidente es que lo que afirmaba es cierto: dos elipses pueden cortarse en cuatro puntos.

Piensa un poco en lo que estoy diciendo y estoy seguro que lo entenderás.

Pues no lo entiendo. Agradecería una explicación; puede que no esté viendo algo.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Respecto al recíproco (y también relacionado con lo que dije antes). Dados los tres vértices de un triángulo cualquiera \( A_1,A_2,A_3 \) con \( A_i=(x_i,y_i) \) si tomamos:

\( F(x,y)=\displaystyle\sum_{i=1}^3{}d((x,y),(x_1,y_1))^2= \)

\( =3(x^2-2\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}\cdot x)+3(y^2-2\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\cdot y)+x_1^2+x_2^2+x_3^2+y_1^2+y_2^2+y_3^2 \)
 
 se tiene que \( F(x,y)=cte \) es una circunferencia de centro:

\( \left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) \) ...¡el baricentro!.

 Entonces si \( F(x,y) \) fuese constante sobre los puntos del círculo inscrito al triángulo, el centro del círculo inscrito debería de coincidir con el baricentro. Pero el único triángulo en el que coinciden incentro y baricentro es el equilátero.

Saludos.

[ancape]

.......

Más allá de las cuentas (no se muy bien lo que ha querido hacer ani_pascual a nivel operativo), lo que es evidente es que lo que afirmaba es cierto: dos elipses pueden cortarse en cuatro puntos.
......

Hola
Efectivamente, dos elipses se cortan en 4 puntos, 3 elipses en 6 etc., pero si igualamos sus ecuaciones, lo que se obtiene no son las raíces, sino una nueva cónica que combina las anteriores. Creo que todo el problema está en confundir ecuación con función. No se puede hablar de las raíces  de F(x,y) como las de un polinomio de dos variables. En el momento que pongamos F(x,y)=0 hemos cambiado el concepto y lo que antes era una superficie es ahora una curva. Podemos hablar de la intersección de ésta con otras curvas, en particular con la recta y=0.

Saludos