[Luis Fuentes]

Hola

Por fin he visto resuelto geométricamente el problema de trazar un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia y cuyos lados iguales pasen por dos puntos dados.
El problema es equivalente al famoso Problema de Alhacen de reflexión de la luz en un círculo y entre las muchas soluciones dadas, destaca la de Huygens que obtiene el (los) punto(s) buscado(s) como intersección de una hipérbola, la Hipérbola de Huygens, y el círculo dado. En el enlace http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Alhazen.html puede verse la construcción en Geogebra desarrollada por Ignacio Larrosa  (colaborador en este foro).

Pues si. 

He hecho el gráfico también, con los triángulos isósceles. Puede haber cuatro soluciones. En el dibujo pueden moverse los puntos \( A \) y \( B \).


Saludos.

[Richard R Richard]

Estoy muy interesado en la construcción aunque sea analítica. Si puedes adjuntar un archivo con las cuentas, te lo agradecería.

Este lo vi mas facil que el de los hexágonos...https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=124453.0

Hay 6 incógnitas las coordenadas de los puntos del vértice del triángulo con sus lados adyacentes iguales $$(x_1,y_1)$$ y los otros dos vértices $$(x_2,y_2)$$ y $$(x_3,y_3)$$

Dada una circunferencia de radio $$R$$, y los dos puntos arbitrarios interiores $$(x_A,y_A)$$ y $$(x_B,y_B)$$

Tenemos que hallar 6 igualdades para poder hacer un sistema de ecuaciones de 6 x 6 , obviamente no lineal, no digo que tenga fácil solución, pero sí pretendo presentar esas relaciones.

Como los vértices pertenecen a la circunferencia que por comodidad la centramos en el origen debe cumplirse que

\( x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2=x_3^2+y_3^2=R^2 \) Allí tenemos tres igualdades

Otra sale de igualar la longitud de los lados adyacentes al vértice 1

\( (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2 \)

y las otras dos igualdades salen de proponer que los puntos A y B pertenecen a las aristas adyacentes

\( \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac{y_1-y_A}{x_1-x_A} \)


\( \dfrac{y_1-y_3}{x_1-x_3}=\dfrac{y_1-y_B}{x_1-x_B} \)


Suerte con los despejes