Hola, esta es mi primera publicación en el foro. Espero sea de su agrado y no les parezca excesivamente larga.
Vi que hay una publicación similar donde se da un método para obtener una terna pitagórica a partir de un número \( N \) natural cualquiera, tal que \( N \) sea un elemento de la terna. En mi caso, he generado una manera de obtener no una, sino muchas ternas (y cuando digo muchas, es
muchas, en especial para un \( N \) grande). De hecho, con mi algoritmo se obtienen
todas las ternas pitagóricas que existen con ese \( N \) dado; sin embargo, si el número es grande (con \( 1000 <N < 10000 \) tenemos para rato) y, en especial si es un número abundante, entonces la cantidad de ternas que se pueden obtener es enorme.
EjemploTomemos un \( N \) aleatorio. En este caso, solo para ejemplificar y empezar a desarrollar mi punto, elegí \( N= 5439 \). Tres ejemplos de ternas pitagóricas que contengan a este número son:
\( \cdot{} \) (5439, 14791360, 14791361)
\( \cdot{} \) (5439, 7252, 9065)
\( \cdot{} \) (5439, 1643480, 1643489)
Lo importante aquí, es que ninguna de estas ternas puede generarse a partir de la otra, sino que son independientes entre sí. Sin embargo, no son las únicas ternas independientes que se pueden generar a partir del número dado. De hecho, para \( N= 5439 \) calculo al menos 17, pero hay muchas más (aunque eso sí, no son infinitas).
Método Veamos un ejemplo del método calculando una terna pitagórica nueva para \( N= 5439 \). Para ello, primero, consideremos un factor de \( N= 5439 \), por ejemplo, el \( 21 \) y hagamos \( 5439\div 21= 259 \). Como ambos factores tienen la misma paridad, entonces obtendremos una terna (en caso contrario, no sería posible obtenerla).
Sumemos ambos factores y el resultado dividámoslo entre 2: \( \dfrac{21+259}{2}=140 \); ahora, este resultado se lo restamos al factor más grande: \( 259-140=119 \); por último, hacemos la siguiente operación con los resultados obtenidos: \( 2\times 119\times140 =33320 \), y esa será la medida del otro cateto, quedando la terna:
\( \cdot{} \) (5439, 33320, 33761)
La cual es independiente de de las tres anteriores. Este método siempre funcionará para cualquier factor \( p \) de \( N \) siempre y cuando \( \dfrac{N}{p} \) tenga la misma paridad que \( p \).
Demostración del métodoEl método está basado en la solución general de la ecuación \( x^2+y^2=z^2 \) y el estudio de los factores de \( N \).
Es sabido, que la solución general de la ecuación anterior es \( x=u^2-v^2, y=2uv, z=u^2+v^2 \) con \( u, v \in \mathbb{N} \). Por lo tanto, si consideramos que \( x=N \), entonces tenemos que \( N= u^2-v^2 \) y a partir de este punto querríamos encontrar los valores de \( y, z \) que completen la terna.
Para ello, notemos que podemos factorizar la expresión anterior de la siguiente manera: \( N=(u-v)(u+v) \), por lo tanto, la suma y resta de esos números \( u, v \) deben ser factores de \( N \), puesto que ambos son números enteros positivos. Así, pues, si asumimos que \( N \) tiene al menos dos factores (y los tiene, ya que siempre se consideran \( N>2 \)) tales que \( p\cdot p'=N \), entonces se forma el sistema de ecuaciones:
\( u-v=p \)
\( u+v=p' \)
De donde \( u=\dfrac{p+p'}{2} \) y \( v=\dfrac{p'-p}{2} \); de ahí que sea importante que los factores de \( N \) sean de la misma paridad, de lo contrario, su suma y su resta no sería divisible entre 2. Teniendo los valores de \( u \) y \( v \) ya se puede calcular el valor de \( y \) junto al valor de \( z \).
Es importante notar, que no se le pide a otra condición a los factores de \( N \) más allá de ser de la misma paridad; por lo demás, obtenemos que cada factor de \( N \) nos arroja al menos una terna pitagórica distinta e independiente.
Además, este método nos permite ver que para cualquier \( N>2 \) siempre se podrá generar al menos una terna pitagórica, incluso para un número primo \( k \), ya que aunque \( k \) solo tenga como factores (\( 1 \) y el propio \( k \), obviamente), ambos factores tendrán siempre la misma paridad, por lo tanto podrá generarse la terna pitagórica.
¿Cuántas ternas pitagóricas se pueden obtener a partir de un N dado?Lo más natural en este punto es preguntarse: dado un número \( N \) aleatorio: ¿Cuántas ternas pitagóricas se pueden generar a partir de él? Esa era la pregunta que en un principio quería responder y desarrollé varios resultados a partir de ahí. El problema, es que calcular todas las ternas que contienen al número del ejemplo inicial \( N=5439 \) implicaría, en primer lugar, considerar todos los factores de 5439:
5439={1, 3, 7, 21, 37, 49, 111, 147, 259, 777, 1813, 5439}
De aquí, en un principio, tendríamos que hay 6 (una por cada pareja de factores cuyo producto sea 5439); luego, tendríamos otras tres por los números primero 3, 7 y 147, pues cada uno de esos números aparece en su propia terna pitagórica:
(3, 4, 5), (7, 24, 25), (37, 684, 685) \( \rightarrow \) (5439, 7252, 9065), (5439, 18648, 19425), (5439, 100548, 100695)
Que, como se ve, nos permiten obtener otras tres ternas diferentes para 5439. Sin embargo (y he aquí la dificultad), cada uno de los otros factores no primos (21, 49, 111, 147, 259, 777, 1813) tienen asociadas, a su vez, su propia familia de ternas pitagóricas que pueden usarse para generar más ternas para 5439 y que no necesariamente coincidirán con las que 9 anteriores. Por lo tanto, contar las ternas que tienen a 5439 como elemento consiste en un proceso recursivo donde se deben contar, también, las ternas que se pueden generar a partir de sus factores e, incluso, de los factores de sus factores, etc.
A mí no se me ocurre cómo producir un método o función general que cuente todas las ternas pitagóricas (ni siquiera sé si algo así sería posible). Si alguno de ustedes se anima a intentarlo o si conoces algún otro resultado relacionado con este tema de las ternas pitagóricas los animo a comentarlo
; igualmente me gustaría saber si este resultado que obtuve es original o si ya alguien más lo había desarrollado o mencionado con anterioridad (incluso, seguramente, llevándolo más allá de donde yo lo hice).
Agradezco su paciencia si llegaron hasta acá y espero les haya parecido amena mi explicación y el resultado que obtuve.
