Hola ¿qué tal?
Me podrían ayudar con lo siguiente por favor,
Suponga que \( G \) es un campo vectorial \( C^1 \) en un conjunto abierto \( U\subset{\mathbb{R^3}} \) tal que \( div\,G=0 \). Si \( U \) es convexo, entonces existe un campo vectorial \( F \) tal que \( rot\, F=G \). Encontrar \( F \).
Al empezar el autor establece que se supondrá que \( U \) es un rectángulo \( (a_1,b_1)\times{(a_2,b_2)\times{(a_3,b_3)}} \).
Queremos encontrar \( F \) resolviendo el sistema de ecuaciones,
\( \frac{{\partial F_3}}{{\partial y}}-\frac{{\partial F_2}}{{\partial z}} \)=\( G_1 \)
\( \frac{{\partial F_1}}{{\partial z}}-\frac{{\partial F_3}}{{\partial x}} \)=\( G_2 \)
\( \frac{{\partial F_2}}{{\partial x}}-\frac{{\partial F_1}}{{\partial y}} \)=\( G_3 \)
Encontraremos \( F \) tal que \( F_3=0 \) ¿Por qué?. Así las dos primeras ecuaciones se reducen a: \( -\frac{{\partial F_2}}{{\partial z}} \)=\( G_1 \) y \( \frac{{\partial F_1}}{{\partial z}} \)=\( G_2 \). Luego fija \( a\in{(a_3,b_3)} \), e integra a ambos lados con respecto a la tercera variable (la que llama \( t \) en vez de \( z \)).
\( F_2(x,y,z)=-\displaystyle\int_{a}^{z}G_1(x,y,t)dt+\phi(x,y) \) y \( F_1(x,y,z)=\displaystyle\int_{a}^{z}G_2(x,y,t)dt+\rho(x,y) \). ¿Aquí aplicó el Teorema Fundamental del Cálculo con la variable \( z \) dejando fijos \( x \) e \( y \)?
Ahora \( G_3 \)=\( \frac{{\partial F_2}}{{\partial x}}-\frac{{\partial F_1}}{{\partial y}} \) = \( \frac{{\partial \phi}}{{\partial x}}-\frac{{\partial \rho}}{{\partial y}} \)\( -\displaystyle\int_{a}^{z}(\frac{{\partial G_1}}{{\partial x}}+\frac{{\partial G_2}}{{\partial y}})(x,y,t)dt \) = \( \frac{{\partial \phi}}{{\partial x}}-\frac{{\partial \rho}}{{\partial y}} \)\( +\displaystyle\int_{a}^{z}(\frac{{\partial G_3}}{{\partial z}})(x,y,t)dt \) (Por hipótesis). Quisiera detenerme aquí, pues no comprendo lo que significa la derivación bajo el signo integral.
Cualquier ayuda es bienvenida.
Gracias.
