[Jesús Izquierdo Cantarero]

Buenas tardes.

Estoy repasando variable compleja y me aparece el siguiente Teorema:
Toda función analítica en A (abierto y convexo) cumple la propiedad de la media. Es decir: \( f(α)=\displaystyle\frac{1}{2π}\displaystyle\int_{C}^{}f(z)dz \) donde \( C \) es una circunferencia con centro en \( α \) contenida en \( A \).
Ahora bien, por el Teorema de Cauchy tenemos que si \( f \) es analítica en \( A \) abierto y convexo y \( C \) es un camino cerrado, entonces \( \displaystyle\int_{C}^{}f(z)dz=0 \). Según esto \( f(α)=0 \), hecho imposible a no ser que toda función analítica fuese nula.
Debo estar confundiéndome en alguna tontería pero es algo tan simple que no soy capaz de verlo. Agradezco la ayuda.

Un saludo.

[Masacroso]

La identidad es \( f(\alpha )=\frac1{2\pi i}\int_{\partial \mathbb{B}(\beta ,r)}\frac{f(z)}{z-\alpha }\,d z \) siempre que \( \alpha \in \mathbb{B}(\beta ,r) \). Aquí lo explican en más detalle:

https://math.stackexchange.com/questions/595395/mean-value-theorem-for-holomorphic-functions

Quizá tu confusión venga de cómo se define \( dz \). En análisis complejo \( dz:=dx+idy \) es una forma diferencial, pero en algunos libros de teoría de la medida, para hacer cálculos en \( \mathbb{T}:=\partial \mathbb{B}(0,1) \) se utiliza la medida de Haar en vez de \( dz \). Si \( \sigma  \) es tal medida de Haar entonces esta medida mide lo que corresponde a la longitud de arco dividida por \( 2\pi \). En tal caso se tiene que \( \oint f(\alpha +r\sigma  )d\sigma  =f(\alpha ) \) para una función holomorfa \( f \) cualquiera y \( r>0 \).

[Jesús Izquierdo Cantarero]

Claro, no tuve en cuenta el diferencial. Muchas gracias.