[ani_pascual]

Hola, lorena.zambrano:

Ani el error en esta parte no debería ser \( \frac{1}{6}*\frac{3}{4}  \)?
De donde ha salido ese
\( \frac{1}{6}*(\frac{1}{2})^2= \frac{1}{24}=0.042  \)?

Tienes que \( p_3(x)=\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{13}{24}x^2+x+\dfrac{191}{192} \) y que el polinomio de  grado dos o menor que mejor aproxima a \( p_3(x) \) uniformemente en \( [-1,1] \) es \( p_2(x)=p_3(x)-a_3\tilde{T}_3(x) \), luego \( =|p_3(x)-p_2(x)|=|a_3\tilde{T}_3(x)|=|a_3||\tilde{T}_3(x)|\leq |a_3|\dfrac{1}{2^2}= \dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{2^2}\simeq 0,042 \), que sumado al error que se arrastra, supera la cota permitida de \( 0,05 \); recuerda que \( |\tilde{T}_n(x)|\leq \dfrac{1}{2^{n-1}} \). En definitiva, el polinomio de menor grado que mejor aproxima uniformemente en \( [-1,1] \) a \( e^x \) con una cota de error menor que \( 0,05 \) es \( p_3(x) \), tal y como aparece detallado en la págima 516 del libro Análisis numérico de Burden y Faires,  séptima edición.
Saludos

[lorena.zambrano]

Hola, debo hacer este ejercicio pero debe ser en código. Después de tanto intentar he podido instalar Octave en la PC. Necesito ayuda con el código de este ejercicio. No he podido ejecutarlo. Necesito ayuda para corregirlo. Además Quiero saber si es correcto.






% Cálculo del sexto polinomio de Maclaurin para xe^x
syms x;
f = x*exp(x);
p6 = taylor(f, x, 'Order', 6);

% Economización de Chebyshev para obtener una aproximación de menor grado
n = 6; % Grado inicial
error_max = 0.01;
while true
  % Coeficientes de Chebyshev
  c = zeros(1, n+1);
  for k = 0:n
  c(k+1) = (2/(pi*(1-(-1)^k)))*int(f*cos(k*acos(x)), x, -1, 1);
  end
 
  % Aproximación de menor grado
  p_n = 0;
  for k = 0:n
  p_n = p_n + c(k+1)*cos(k*acos(x));
  end
 
  % Verificar si el error es menor que 0.01 en [-1,1]
  error = max(abs(f - p_n));
  if error <= error_max
  break;
  else
  n = n - 1;
  end
end

% Mostrar el polinomio de menor grado y el error
disp(['Polinomio de menor grado: ', char(p_n)]);
disp(['Error: ', num2str(error)]);

% Graficar la función original y la aproximación
xx = linspace(-1, 1, 100);
figure;
plot(xx, subs(f, x, xx), 'b', xx, subs(p_n, x, xx), 'r');
legend('f(x) = xe^x', 'Aproximación de menor grado');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Aproximación de xe^x con economización de Chebyshev');
grid on;

% Graficar el error de la aproximación
error_plot = abs(subs(f, x, xx) - subs(p_n, x, xx));
figure;
plot(xx, error_plot, 'm');
xlabel('x');
ylabel('Error');
title('Error de la aproximación');
grid on;

[Abdulai]

En  c(k+1) = (2/(pi*(1-(-1)^k)))*int(f*cos(k*acos(x)), x, -1, 1);
estás dividiendo alternadamente por 0

[lorena.zambrano]

Hola abdulai, he intentado empezar a calcular nuevamente el polinomio de Maclaurin y la cota del error para resolver este ejercicio de la manera en que está explicado en este foro, como te dije en el mensaje anterior, después de tantos intentos fallidos pude instalar octave en mi pc. el problema que estoy teniendo es que no puedo ejecutar el código completamente porque me da error al calcular la cota de error. necesito de tu ayuda, puedes explicarme luego de obtener esos resultados de que forma prosigo para encontrar aplicando economizacion de Chebyshev el polinomio de menor grado que mejor aproxima a la función en el intervalo [-1,1]? con error menor a 0.01. Necesito tu guía para poder llegar a los resultado.

syms x;
f = x*exp(x);
n = 6;
P = taylor(f, x, 'Order' , n+1);
disp( 'Polinomio de Maclaurin: ');
disp(P);
R6 = abs((diff(f, 7))*(x^7))/7*factorial(7)); %calcular el error de la aproximacion
max_error = double(subs(R6, x, 1)); % calcular el valor maximo del error en el intervalo [-1,1]
disp(max_error);

[lorena.zambrano]

Alguien me puede decir el algoritmo para resolver este ejercicio desde cero, es que necesito programarlo pero me vuelvo un desastre, primero debo calcular el polinomio de Maclaurin de grado 6, luego aplico la cota de error, ahora no entiendo si calcular los polinomios de chebyshev y las operaciones que siguen. Espero me haya dado a entender.