Autor Tema: Duda rápida mcd

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12 Mayo, 2008, 03:03 am
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Eleal

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Creo que necesito una pista para probar lo siguiente:

\( (a,(b,c))=((a,b),c), \ \forall{a,b,c\in{\mathbb{Z}}} \)

Saludos,

\( (a,b) \)=máximo común divisor.

12 Mayo, 2008, 11:58 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 En realidad te es tanto o más barato probar directamente que \( (a,(b,c))=(a,b,c) \).

 Basta tener en cuenta que si \( d \) divide a \( a \) y a \( (b,c) \) entonces divide a \( a,b \) y \( c \) y viceversa.

Saludos.

28 Mayo, 2008, 01:21 am
Respuesta #2

Eleal

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Aquí está lo que hice:

i) Prueba \( (a,b,c) \leq{(a,(b,c))} \)

\( (a,b,c)\,| \, a \), \( (a,b,c)\,| \, b \), \( (a,b,c)\,| \, c \) por ser el máximo común divisor de \( a,b,c \). Como \( (a,b,c) \) divide a \( b \ \textsf{y}\ c \) entonces, divide a \( (b,c) \). Por lo tanto \( (a,b,c) \) divide a \( (a,(b,c)) \).

Como \( ((a,b),c)\geq{0} \) queda \( (a,b,c) \leq{(a,(b,c))} \)

ii) Prueba \( (a,b,c) \geq{(a,(b,c))} \)

Se tiene que \( (a,(b,c)) \, |\, a \) y \( (a,(b,c)) \, |\, (b,c) \). Así que \( (a,(b,c)) \, |\, b \) y \( (a,(b,c)) \, |\, c \). Por lo tanto, como \( (a,b,c) \) es el máximo común divisor de \( a,b,c \) :

\( (a,(b,c)) \, |\, (a,b,c) \)

\( (a,b,c) \geq{(a,(b,c))} \)

Saludos,

28 Mayo, 2008, 08:31 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Correcto.

Saludos.