Esto es lo que me salió del problema de Julio de 2003, es bastante viejo y no sé si la demostración está bien pero ya que estoy cursando álgebra es un buen ejercicio para utilizar los axiomas de espacios vectoriales y ya que estoy lo pongo por acá.
Antes aclaro que utilizo un corolario de los axiomas de espacios vectoriales que dice: (-1).v = -v para todo v perteneciente a V, y que según pude ver en la demostración de este corolario, en la misma no se utiliza ( u + v = v + u ) que es lo que se quiere probar.
a) Demostración:
Sabemos que u,v pertenecen a V, entonces u+v pertenece a V (por ser V un espacio vectorial).
Tambien por ser V un espacio vectorial, existe -(u+v) , opuesto de (u+v) que pertenece a V /
(u+v) + (-(u+v)) = 0v ----> por corolario -----> (-(u+v)) = ( (-1).(u+v) ) ------>
-----> (u+v) + ( (-1).(u+v) ) = 0v -----> por distributiva con respecto a la suma -------> (u+v) + ( (-1.u)+(-1.v) ) = 0v -----> por corolario nuevamente pero a la inversa -----> (u+v) + ( (-u)+(-v) ) = 0v ----> por asociativa de la suma -----> u + v + (-u) + (-v) = 0v ------> considerando que 0v = v + (-v) ------> u + v + (-u) + (-v) = v + (-v) ------> sumando v a la derecha de cada lado y sabiendo que (-v) + v = 0v ( utilizo v + (-v) = (-v) + v = 0v, ver observación ) -----> u + v + (-u) + 0v = v + 0v -------> [ como x + 0v = x para todo x perteneciente a V y tanto [u + v + (-u)] como v pertenecen a V ] -------> u + v + (-u) = v ------> sumando ahora u a la derecha de cada lado y sabiendo que (-u) + u = 0v -----> u + v + 0v = v + u --------> como (u + v) + 0v = u + v porque u + v pertenece a V -------> u + v = v + u que es lo que se quería probar.
No sé si estará bien pero en definitiva utilizo:
V cerrado bajo la suma
Existencia de opuesto para todo vector u de V (donde se cumple u + (-u) = 0v)
Distributiva respecto a la suma
Asociativa de la suma
El corolario.
Observación: en una parte también uso que v + (-v) = (-v) + v = 0v que es uno de los axiomas, pero no sé si este a su vez es independiente o si no lo es, y en una de esas se obtiene de lo que quiero probar ( u + v = v + u).
O sea no sé si ese axioma se podía usar.
