[Metro]

Buenas a todos. Antes que nada agradecer por la ayuda que brinda el foro. Estoy preparando Cálculo II e indagando en los temas anteriores de otros usuarios estoy siendo capaz de "hilar mas fino".
Dicho esto, escribo mi duda:

Estoy estudiando desde el libro Introducción al análisis matemático (Rabuffetti). La definición de diferenciabiliad que usa el libro es la siguiente:

Para F diferenciable:

\( F(a+h,b+k)-F(a,b)=F'_x(a,b)h+F'_y(a,b)k+G(h,k)\sqrt[2]{h^2+k^2} \wedge \displaystyle\lim_{(h,k) \to{(0,0)}}{G(h,k)} = 0  \)

Hay un ejemplo donde se pide probar por definicion que \( f(x,y)=x^2+2xy \) es diferenciable en cuaquier punto \(  (a,b) \in R^2  \).


El autor lo resuelve de la siguiente forma:

Luego de aplicar la definición, reemplazar valores y cancelar convenientemente, llega a la siguiente expresión (a continuación es una cita textual del libro y en rojo expresadas mis dudas).

\(  h^2+2hk=G(h,k) \sqrt[2]{h^2+k^2}  \) .

\(  | G(h,k) | = \displaystyle\frac{|h^2 + 2hk|}{\sqrt[ ]{h^2+k^2}}\textrm{ para }\sqrt[ ]{h^2+k^2} \neq 0  \)
¿Por qué se aplica el valor absoluto? Entiendo que puede ser para acotar la función, pero ¿qué es lo que me "habilita" a aplicarlo?

Por la propiedad triangular:
\(  |G(h,k)| \leq |h| \displaystyle\frac{|h|}{\sqrt[ ]{h^2+k^2}} + 2|k| \displaystyle\frac{|h|}{\sqrt[ ]{h^2+k^2}} \)

Como  \(  \displaystyle\frac{|h|}{\sqrt[ ]{h^2+k^2}} \leq 1\textrm{ es  }|G(h,k)| \leq |h|+2|k| \)
Luego \(  \displaystyle\lim_{(h,k) \to{(0,0)}}{G(h,k)} = 0  \) y queda probado que F es diferenciable en \( R^2 \)
¿Por qué se concluye esto?

Desde ya agradezco sus respuestas. Saludos

[manooooh]

Hola Metro, bienvenido al foro!!

Recuerda leer y seguir las reglas del mismo así como el tutorial del \( \mathrm\LaTeX \) para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Enhorabuena por tu escritura del LaTeX.

\(  h^2+2hk=G(h,k) \sqrt[2]{h^2+k^2}  \) .

\(  | G(h,k) | = \displaystyle\frac{|h^2 + 2hk|}{\sqrt[ ]{h^2+k^2}}\textrm{ para }\sqrt[ ]{h^2+k^2} \neq 0  \)
¿Por qué se aplica el valor absoluto? Entiendo que puede ser para acotar la función, pero ¿qué es lo que me "habilita" a aplicarlo?

Simplemente aplica el valor absoluto a ambos lados de la igualdad. Dado que \( |\sqrt{h^2+k^2}|=\sqrt{h^2+k^2} \) pues deja a la raíz sin las barras.

Por la propiedad triangular:
\(  |G(h,k)| \leq |h| \displaystyle\frac{|h|}{\sqrt[ ]{h^2+k^2}} + 2|k| \displaystyle\frac{|h|}{\sqrt[ ]{h^2+k^2}} \)

Como  \(  \displaystyle\frac{|h|}{\sqrt[ ]{h^2+k^2}} \leq 1\textrm{ es  }|G(h,k)| \leq |h|+2|k| \)
Luego \(  \displaystyle\lim_{(h,k) \to{(0,0)}}{G(h,k)} = 0  \) y queda probado que F es diferenciable en \( R^2 \)
¿Por qué se concluye esto?

Tomando límites a ambos lados de la desigualdad:

\(  \displaystyle\lim_{(h,k) \to{(0,0)}}|G(h,k)| \leq\displaystyle\lim_{(h,k) \to{(0,0)}}( |h| + 2|k|)=|0|+2|0|=0 \)

y se obtiene lo requerido.

Saludos

[delmar]

Hola Metro

Bienvenido al foro

Para la primera pregunta es equivalente usar G(h,k) con \( \left |{G(h,k)}\right | \) cuando (h,k) tiende a (0,0) intenta demostrarlo, usando la definición de límite para un campo de dos variables como G. Has de demostrar que si G(h,k) tiende a cero cuando (h,k) tiende a (0,0) , entonces \( \left |{G(h,k)}\right | \) tiende a cero y viceversa.

Para la segunda pregunta, es por definición de campo diferenciable, en esa definición dicen que \( \displaystyle\lim_{(h,k) \to{}(0,0)}{G(h,k)}=0 \) para que F sea diferenciable en (a,b).


Saludos