[Frutz]

Hola! Me vendría bien una mano para resolver el siguiente ejercicio:

\( u(x, y) = \sin(x^3 - 3xy^2) \cosh(3x^2y - y^3) \)

Decir si la función es armónica, en caso afirmativo hallar una conjugada armónica.

Podría intentar verificando si el laplaciano es efectivamente 0, pero tomaría mucho trabajo hacer las derivadas parciales, por lo tanto sospecho que debe haber otra forma de resolverlo.

Podemos ver que

\( u(x, y) = \sin(\text{Re}(z^3)) \cosh(\text{Im}(z^3)) \)


aunque no se si esto sea de mucha utilidad.

[Masacroso]

Hola! Me vendría bien una mano para resolver el siguiente ejercicio:

\( u(x, y) = \sin(x^3 - 3xy^2) \cosh(3x^2y - y^3) \)

Decir si la función es armónica, en caso afirmativo hallar una conjugada armónica.

Podría intentar verificando si el laplaciano es efectivamente 0, pero tomaría mucho trabajo hacer las derivadas parciales, por lo tanto sospecho que debe haber otra forma de resolverlo.

Podemos ver que

\( u(x, y) = \sin(\text{Re}(z^3)) \cosh(\text{Im}(z^3)) \)


aunque no se si esto sea de mucha utilidad.

Hay una forma, sí, aunque no sé si es la más sencilla o directa de ver que es armónica. Usando formas diferenciales derivadas parciales se puede comprobar que \( \Delta =\partial \bar \partial =\bar \partial \partial  \) donde \( \Delta :=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \) es el laplaciano y \( \partial :=\frac{\partial}{\partial z}:=\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y} \) (y por tanto \( \bar \partial :=\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y} \)).

Ahora bien, desarrollando el seno y el coseno hiperbólico a partir de la última expresión que tienes llegas a una expresión de la forma \( g(z)=f(z)+f(\bar z) \) para una función holomorfa \( f \), de donde se sigue \( \partial \bar \partial g=\bar \partial \partial g=0 \), es decir, que \( g \) es armónica.

La segunda parte no la he resuelto, pero creo que a partir de lo anterior no debe ser muy complicado hallar una forma explícita de su conjugado armónico.

Corregido.

[Gustavo]

Hola. Combinando estas ideas que han propuesto sale directo:

Podemos ver que

\( u(x, y) = \sin(\text{Re}(z^3)) \cosh(\text{Im}(z^3)) \)

desarrollando el seno y el coseno hiperbólico a partir de la última expresión que tienes llegas a una expresión de la forma \( g(z)=f(z)+f(\bar z) \) para una función holomorfa \( f \)

Sacando la constante se puede llegar a la expresión

\( u(x,y) = \frac{1}{2}(f(z)+f(\overline z)) \) donde \( f(z)=\sen(z^3) \).

Pero \( f \) conmuta con la conjugación, así que

\( u(x,y) = \frac{1}{2}(f(z)+\overline{f(z)}) = \text{Re}(f(z)) \).

Lo que prueba que \( u(x,y) \) es armónica.

Para hallar su conjugado armónico, expandes el cubo en \( \sen((x+iy)^3) \), separas seno de la suma (de real + imaginaria) y tomas su parte imaginaria.


A partir de una función armónica \( u(x,y) \) se puede reconstruir una función holomorfa (módulo constantes) con \( u \) como parte real calculando

\( 2\, u \left( \dfrac{z}{2}, \, \dfrac{z}{2i}\right) - u(0,0). \)

Esto se puede justificar usando series de potencia.

[Frutz]

Gracias por las ideas! Han sido muy útiles para llegar a la solución.

Efectivamente se da lo siguiente:

\( u(x, y) = \sin(x^3 - 3xy^2) \cosh(3x^2y - y^3) \)

Se puede probar que:

\( u(x, y) = \text{Re}(\sin(z^3)) \)

Como la función \( f(z)=sin(z^3) \) es holomorfa por composición de funciones holomorfas y además
\( f(z)=u(x, y) + i v(x, y) \), siendo \( u(x,y) , v(x,y) \) de clase \( C^2 \), entonces:

\( u(x, y) \wedge v(x,y) \) son armónicas siendo
\( v(x,y)=\text{Im}(\sin(z^3)) \) la conjugada armónica de \( u(x, y) \)