[Albersan]

Hola, ¿qué tal?

Me gustaría saber, por favor, por qué la superficie \( x^2+y^2=z^2 \), que se escribe en coordenadas cilíndricas \( r^2=z^2 \), es tambíen representada por las ecuaciones \( r=z \) y \( r=-z \). O siendo más preciso, ¿por qué el gráfico de \( r^2=z^2 \) es el mismo que el gráfico de \( r=z \), y es el mismo que el gráfico de \( r=-z \)?



Muchas Gracias

[electron]

Si tienes una ecuación del tipo \( x^2=a^2 \), sus soluciones son \( x=+a \) y \( x=-a \). Geométricamente, al despejar la \( z \) en una parte positiva y otra negativa, estás desdoblando el cono en sus partes positiva (superior) y negativa (inferior); cuando está representado por \( z^2=x^2+y^2 \) implícitamente tienes ya las dos partes en una sola.

Por tanto, no son lo mismo sino que son dos partes de un todo. Por eso hay que tener cuidado al despejar y revisar qué parte de la superficie representa.

Gráfica de \( z=+r=+\sqrt[ ]{x^2+y^2} \)



Gráfica de \( z=-r=-\sqrt[ ]{x^2+y^2} \)



Gráfica de \( z^2=r^2=x^2+y^2 \)



Saludos

[Albersan]

Hola electron, gracias por tu ayuda,


Gráficamente se vé bastante claro, la parte positiva, la parte negativa, y el gráfico entero. Pero creo que existe una propiedad de las coordenadas cilíndricas que puede ayudar a aclarar mi duda y comparar con los resultados que has expuesto.

En coordenadas polares, el punto \( (r,\theta) \) también se podía representar por \( (-r,\theta\pm{\pi}) \).
Para el caso de coordenadas cilíndricas, no sé si esto último también sea cierto. Es decir un mismo punto puede ser representado por \( (r,\theta,z) \) y \( (-r,\theta\pm{\pi},z) \). De ahí creo que se puede concluir que \( r=z \) y \( r=-z \) dan gráficas iguales.


¿Es ésto cierto, por qué?



Muchas Gracias

[electron]

Que alguien sabio me corrija si me equivoco, pero a mí me da que no tiene sentido poner una coordenada radial como \( -r \) porque \( r\geq0 \) es una distancia por definición y no existen coordenadas radiales negativas.

Como mucho, si acaso podríamos decir que \( (r,\theta,z)=(r,\theta\pm2\pi,z) \).

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola electron, gracias por tu ayuda,

Gráficamente se vé bastante claro, la parte positiva, la parte negativa, y el gráfico entero. Pero creo que existe una propiedad de las coordenadas cilíndricas que puede ayudar a aclarar mi duda y comparar con los resultados que has expuesto.

En coordenadas polares, el punto \( (r,\theta) \) también se podía representar por \( (-r,\theta\pm{\pi}) \).
Para el caso de coordenadas cilíndricas, no sé si esto último también sea cierto. Es decir un mismo punto puede ser representado por \( (r,\theta,z) \) y \( (-r,\theta\pm{\pi},z) \). De ahí creo que se puede concluir que \( r=z \) y \( r=-z \) dan gráficas iguales.


¿Es ésto cierto, por qué?

En realidad NO. Para conseguir que las coordenadas polares o cilíndricas representen de manera inequívoca un punto (y no hay distintas coordenadas cilíndricas que corresponden al mismo punto), el convenio es que la coordenada radio es SIEMPRE positiva, \( r\in (0,+\infty) \).


Entonces siendo \( r>0 \),

\( z^2=r^2 \) equivale a \( z=r\qquad \vee \qquad z=-r \)

Saludos.

[Albersan]

Ok, gracias por la aclaración,




Muchas Gracias