Hola
Lo que pasa es quiero hallar las direcciones extremas del siguiente conjunto:
\( S=\{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3: 4 x_2 \geq{x_1^2}, x_1 + 2x_2 +x_3 \leq{2}\} \).
La definición que tengo es la siguiente: Sea \( S\subseteq{\mathbb{R}^n} \), convexo, cerrado. El vector \( d \in\mathbb{R}^n \) es una dirrección de \( S \), si \( \forall x \in S \), se tiene que \( x + \lambda d \in S \) para todo \( \lambda \geq{0} \). Una dirección \( d \in \mathbb{R}^n \) es dirección extrema, si dadas direcciones \( d_1 \) y \( d_2 \) de S, tales que \( d= \lambda_1 d_1+ \lambda_2 d_2 \) para algún \( \lambda_1, \lambda_2>0 \), entonces \( d_1=\alpha d_2 \) para algún \( \alpha>0 \).
No estoy seguro de como hacerlo de manera sistemática.
Ahora bien una dirección de un conjunto (ya veremos luego si es extrema) está determinada por un vector que prolongado hasta el infinito desde cualquier punto del conjunto se mantenga dentro de él.
La primera restricción del conjunto \( S \) es una parábola en el plano \( (x_1,x_2) \), determinada por \( x_2\geq 4x_1^2 \). Dado que la pendiente de las ramas de la parábola tiende a ser paralela al eje de la misma, la única dirección que no corta a a la parábola (y sale fuera de ella) es la paralela al eje.
Por tanto en el plano \( (x_1,x_2) \) las direcciones corresponden a vectores \( (0,x_2) \) con \( x_2>0 \); y añadiendo ahora la tercera coordenada donde de momento no hay restricción son de la forma \( (0,x_2,x_3) \).
Ahora para ver como afecta la segunda restricción nos ceñimos al plano \( x_1=0 \) (fuera de ahí no tiene direcciones el conjunto). En ese caso la restricción es \( 2x_2+x_3\leq 2 \) y la que teníamos \( 4x_2\geq 0 \)
En este caso es una región delimitada por dos semirectas. Es evidente que las direcciones son cualquiera comprendidas entre los vectores directores de cada una de ellas y las extremas precisamente sus vectores directores \( (x_2,x_3)=(0,-1) \) y \( (x_2,x_3)=(1,-2) \).
En definitiva las direcciones extremas son las generadas por los vectores \( (0,0,-1) \) y \( (0,1,-2) \).
Saludos.
