Tengo el siguiente sistema:
\( \begin{pmatrix}{\dot{x}}\\{\dot{y}}\\{\dot{z}}\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}{2t}&{0}&{1}\\{0}&{2t}&{1}\\{0}&{-1}&{2t}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{pmatrix} \)
Tengo que encontrar la matriz fundamental del sistema para poder resolverlo, se me han ocurrido varias maneras, pero quiero saber si hay alguna manera más sencilla de resolverlo:
A mi lo que se me ha ocurrido es intentar resolver cada ecuacion por separado es decir, encontrar \( x(t) \), \( y(t) \), \( z(t) \) de manera que la parte homogenea de la solución formará una matriz fundamental de soluciones, el problema es que cuando intento resolver cada ecuación se lían las cuentas y me parece un poco engorroso
La otra manera que se me había ocurrido era encontrar una matriz que conmute con \( A(t)=\begin{bmatrix}{2t}&{0}&{1}\\{0}&{2t}&{1}\\{0}&{-1}&{2t}\end{bmatrix} \)
de manera que \( M(t)=e^{B(t)} \), donde \( B(t) \) es la matriz que conmuta con \( A(t) \), mi duda respecto a esta manera de hacerlo es que no sé si es correcta del todo, ya que yo en mis apuntes tengo que \( B(t) \) además de ser una matriz que conmuta con \( A(t) \), tiene que ser una primitiva de \( A(t) \)
También había pensado en calcular la exponencial de la matriz A(t) reescribiendola, es decir, haciendo lo siguiente:
\( A(t)=\begin{bmatrix}{2t}&{0}&{1}\\{0}&{2t}&{1}\\{0}&{-1}&{2t}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{1}\\{0}&{-1}&{0}\end{bmatrix}+2t\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} \)
\( M(t)=e^{tA(t)}=e^{t{\begin{bmatrix}{0}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{1}\\{0}&{-1}&{0}\end{bmatrix}}}e^{2t^2{\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}}}=e^{t{\begin{bmatrix}{0}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{1}\\{0}&{-1}&{0}\end{bmatrix}}}e^{2t^2}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} \)
Pero no sé si \( M(t)=e^{tA(t)} \) es cierto, sé que si \( A(t) \) es constante, es decir, que no tiene coeficientes variables, el resultado si que es cierto, pero en caso contrario no sé
No sé si a alguien se le ocurre alguna otra idea más o menos sencilla de resolverlo, si es así sería de gran ayuda
Saludos
Ya lo he resuelto, muchas gracias de todas maneras
