Hola, Argentinator.
Una cuestión sobre esto:
Decía que me vuelan algunas moscas al usar la Máquina de Turing para calcular el siguiente.
La función "siguiente" le calcula el siguiente a cualquier cosa.
Si en una cinta tengo:
0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1
el siguiente será:
0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1,
Tengo que asumir de entrada que la cinta tiene representado un número natural,
o sea, sólo un número finito de 1's, y nada más que eso,
que el cabezal está justo en la posición del último 1.
Y por otra parte, ¿cómo sé desde dónde arranca el primer 1 que representa al número natural dado?
Por eso creo que prefiero que la cinta tenga un casillero inicial.
Pues a partir de ahí comienzo a agregar 1's a la derecha.
Y si tengo que determinar si lo que tengo almacenado es o no una lista finita de 1's,
tengo un punto de partida concreto desde donde comenzar a analizarlo.
¿Te es suficiente con un punto de partida y nada más?
Para mí sí, porque no le pongo pegas al concepto intuitivo de entero; para mí los naturales han de ser enteros, si no, no les llamo naturales.
Porque pasa una cosa, si con los primeros axiomas de Peano se definen los naturales como si los no enteros no estuvieran inventados, el concepto de entero queda a la intuición, no resulta posible definirlo; por el mismo hecho de que necesita ser definido por contraste con el concepto de no entero, y aún no están “inventados” los no enteros.
Así, con lo que dice Peano en sus primeros axiomas, los naturales pueden ser perfectamente éstos
\( 0,\dfrac{1}{2},1,\dfrac{3}{2},2,\dfrac{5}{2},3,\dfrac{7}{2},... \).
Lamamos a 1/2 “uno” y no cambia nada, porque no sabemos lo que son los enteros y no enteros, sólo es un símbolo.
Pero entonces alguien inventa los enteros y dice que esto, 1/2, es la mitad de “uno” y que “uno” es esto 1. Entonces, como el primer conjunto ha sido definido previamente como el conjunto de los naturales, no puede dejar de llamarse también naturales a no ser que hagamos alguna distinción, a no ser que exijamos otro axioma.
Si queremos hacer esa distinción (que no sé si es lo que a ti te vendrían bien para dudar menos sobre la no ambigüedad de los naturales) podemos considerar, una vez definida la mutliplicación y el elemento neutro, esto:
\( S(0)\cdot n=n \); el siguiente de cero es el elemento neutro del producto (con su cerradura y tal).
Con lo que
\( S(0)\cdot n+1=n+1 \)
y ya no hay peligro de que se metan no enteros por medio (ni negativos tampoco, ya que, el cero no es sucesor de nadie por axioma). Pues, como vemos, el anterior conjunto no cumple el axioma
\( S(0)\cdot n=\dfrac{n}{2}\neq n \).
A fin de cuentas, \( S(0)\cdot n \), en los naturales, significa “una vez “n”, no media vez ni nada así. Define bastante bien el concepto de “número entero”, que es inherente al concepto de “número natural”, no es un concepto previo ni posterior.
(A lo mejor no lo define bien del todo, habría que ver más cosas, pero de momento es una definición que tampoco molesta, no puede perjudicar, porque es una verdad matemática clara).
Saludos.
