[Chorite]

Hola, buenas tardes. Estoy teniendo dificultades con la siguiente demostracion:

(Aclaracion importante: \( a=k+1, b=k+2  \). Latex no me permite escribir esas dos expresiones como exponente, no se por qué).

\[ \displaystyle\sum_{k=1}^n{2^k 3^a }=\displaystyle\frac{18(6^n-1)}{5} \]

Les comparto mi procedimiento

para \( n=1 \), se cumple con igualdad que \[ 18=18 \]

Para \[ n=k+1 \], debería demostrar que:

 \[ \displaystyle\sum_{k=1}^h{2^k 3^a } + 2^a 3^b=\displaystyle\frac{18(6^h-1)}{5}+2^a 3^b \]

Para cumplir con la demostracion, debería ser capaz de probar que \[ \displaystyle\frac{18(6^h-1)}{5}+2^a 3^b = \displaystyle\frac{18(6^a-1)}{5} \]. Pero no me doy cuenta como debería proceder.

Me dan una mano? Gracias!

[delmar]

Hola

El método de inducción no esta correctamente aplicado.

Primero se demuestra para n=1 y eso lo has demostrado bien

Segundo se demuestra para n+1 suponiendo que es verdadero para n, esto no es la idea que has considerado como segundo paso.

Desarrollando este paso se tiene :

\( \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}{2^k \ 3^{k+1}}=\displaystyle\sum_{k=1}^n{2^k \ 3^{k+1}}+2^{n+1} \ 3^{n+2} \) suponiendo verdadero el teorema para n se tiene :
\( \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}{2^k \ 3^{k+1}}=\displaystyle\frac{18(6^n-1)}{5}+2^{n+1} \ 3^{n+2}=\displaystyle\frac{18(6^n-1)+5 \ 2^{n+1} \ 3^{n+2}}{5}=\displaystyle\frac{18 \ ((6^n-1)+5 \ 2^n \ 3^n)}{5} \)

Observa que la parte entreparéntesis del numerador se puede poner : \( ((6^n-1)+5 \ 2^n \ 3^n ))=6^n-1+5 \ 6^n \)

Agrupando y operando creo que puedes terminar y llegar a \( \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}{2^k \ 3^{k+1}}=\displaystyle\frac{18(6^{n+1}-1)}{5} \) que es lo que se ha de llegar, para demostrar el teorema.

Saludos

Nota : Para poner como exponentes expresiones como k+1, k+2, etc se las ha de encerrar entre llaves

[Pie]

Por completar lo que puso delmar:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}{2^k \ 3^{k+1}}=\displaystyle\frac{18(6^n-1)}{5}+2^{n+1} \ 3^{n+2} = \)

\( = \displaystyle\frac{18(6^n - 1)+5(2^{n+1}3^{n+2})}{5}
= \)

\( = \displaystyle\frac{18(6^n - 1)+5(2\cdot{}2^n \cdot{}3^2\cdot{}3^n)}{5}
= \)

\( = \displaystyle\frac{18 \cdot{}6^n - 18+5(18\cdot{6^n})}{5}
= \)

\( = \displaystyle\frac{108\cdot{6^n - 18}}{5}= \displaystyle\frac{18(6\cdot{}6^n - 1)}{5}
= \)

\( = \displaystyle\frac{18(6^{n+1} - 1)}{5}
 \)

Como queríamos..

Saludos.

[Chorite]

Por completar lo que puso delmar:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}{2^k \ 3^{k+1}}=\displaystyle\frac{18(6^n-1)}{5}+2^{n+1} \ 3^{n+2} = \)

\( = \displaystyle\frac{18(6^n - 1)+5(2^{n+1}3^{n+2})}{5}
= \)

\( = \displaystyle\frac{18(6^n - 1)+5(2\cdot{}2^n \cdot{}3^2\cdot{}3^n)}{5}
= \)

\( = \displaystyle\frac{18 \cdot{}6^n - 18+5(18\cdot{6^n})}{5}
= \)

\( = \displaystyle\frac{108\cdot{6^n - 18}}{5}= \displaystyle\frac{18(6\cdot{}6^n - 1)}{5}
= \)

\( = \displaystyle\frac{18(6^{n+1} - 1)}{5}
 \)

Como queríamos..

Saludos.

Hola

El método de inducción no esta correctamente aplicado.

Primero se demuestra para n=1 y eso lo has demostrado bien

Segundo se demuestra para n+1 suponiendo que es verdadero para n, esto no es la idea que has considerado como segundo paso.

Desarrollando este paso se tiene :

\( \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}{2^k \ 3^{k+1}}=\displaystyle\sum_{k=1}^n{2^k \ 3^{k+1}}+2^{n+1} \ 3^{n+2} \) suponiendo verdadero el teorema para n se tiene :
\( \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}{2^k \ 3^{k+1}}=\displaystyle\frac{18(6^n-1)}{5}+2^{n+1} \ 3^{n+2}=\displaystyle\frac{18(6^n-1)+5 \ 2^{n+1} \ 3^{n+2}}{5}=\displaystyle\frac{18 \ ((6^n-1)+5 \ 2^n \ 3^n)}{5} \)

Observa que la parte entreparéntesis del numerador se puede poner : \( ((6^n-1)+5 \ 2^n \ 3^n ))=6^n-1+5 \ 6^n \)

Agrupando y operando creo que puedes terminar y llegar a \( \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}{2^k \ 3^{k+1}}=\displaystyle\frac{18(6^{n+1}-1)}{5} \) que es lo que se ha de llegar, para demostrar el teorema.

Saludos

Nota : Para poner como exponentes expresiones como k+1, k+2, etc se las ha de encerrar entre llaves

Muchisimas Gracias Delmar y Pie por su ayuda, ahora comprendo cómo resolver el ejercicio.