Hola
Hola, me han pedido demostrar la siguiente propiedad:
Un numero es divisible por 6 si y solo si es divisible por 2 y por 3.
La propiedad la conozco, pero problema que estoy teniendo es que las demostraciones que encuentro en YouTube o en páginas web utilizan números y ejemplos específicos en lugar de una demostración formal definida para el conjunto de numeros enteros. ¿Me podrían dar una mano con esto? Gracias.
Tienes que probar la siguiente proposición:
\( \forall n\in\Bbb{N}\colon6\mid n\iff2\mid n\land3\mid n. \)
La ida:
\begin{align*}
6\mid n&\implies\exists k\in\Bbb{Z}\colon n=6k\\
&\implies n=6k\land n=6k\\
&\implies n=2\cdot(3k)\land n=3\cdot(2k)\\
&\implies 2\mid n\land 3\mid n.
\end{align*}
La vuelta:
\begin{align*}
2\mid n\land3\mid n&\implies\exists k\in\Bbb{Z}\colon n=2k\land\exists p\in\Bbb{Z}\colon n=3p\\
&\implies2n=6k\land3n=6p\\
&\implies3n-2n=6p-6k\\
&\implies n=6(p-k)=6l,\,l=p-k\in\Bbb{Z}\\
&\implies6\mid n.
\end{align*}
Saludos
