Hola, he resuelto el siguiente ejercicio y me gustaría que alguien lo revisara porque tengo dudas en ciertos apartados:
Dado el conjunto \( X=\{(x,y) \in \mathbb{R^2}:y \geq x^2, x \leq 0\} \cup{[(0,+\infty) \times (0,+\infty)}] \), después de representarlo gráficamente he hecho el primer apartado diciendo que:
1)No es cerrado porque \( (1,0) \) es punto frontera y no pertenece al conjunto.
2)Sí es convexo porque todo segmento entre dos puntos del conjunto se queda incluido en el conjunto.
3)Sí es abierto porque el conjunto es igual a su interior.
4)No es cono porque la semirrecta que parte del punto \( (0,0) \) en la dirección del semieje positivo de las abscisas no está incluido en \( X \).
Luego me preguntaban por la envoltura convexa del conjunto que, al ser convexo, es él mismo y la cónica que sería \( X\cup \){el semieje positivo de las abscisas}.
Después, me preguntaban si es posible separar estrictamente \( X \) de cualquier punto exterior a él y, al ser convexo y cerrado, la respuesta es que sí por el teorema de separación.
Finalmente, me pedían un hiperplano de apoyo del conjunto para \( (0,0) \) y he pensado en el eje de abscisas. ¿Estaría bien razonado? Muchas gracias.
