[Chorite]

Hola! estoy teniendo inconvenientes para plantear el siguiente problema. No se me ocurre por donde empezar. ¿Me podrían dar una mano con el planteo?

Determinar si el enunciado es verdadero sobre el conjunto de los números enteros y justificar la respuesta demostrándolo:
"Si un numero es divisible por 6, entonces es divisible por 3".

[Juan Pablo Sancho]

Toma que:
\(  n = 6m = 3 \cdot (2m) \)

[manooooh]

Hola

Determinar si el enunciado es verdadero sobre el conjunto de los números enteros y justificar la respuesta demostrándolo:
"Si un numero es divisible por 6, entonces es divisible por 3".

Recuerda los criterios de divisibilidad: Un número es divisible por \( 6 \) si lo es por \( 2 \) y \( 3 \). Ergo, también es divisible por \( 3 \).

Saludos

[Chorite]

Toma que:
\(  n = 6m = 3 \cdot (2m) \)

Hola Juan Pablo Sancho, muchas gracias por tu respuesta. A partir de ella, elaboré el siguiente razonamiento:
\[ 6|n \Leftrightarrow{}  \exists{k} \in{\mathbb{Z}}  / n= 6 . k \]

luego,
\( n= 6.k \)
\( n= 2.3.k \)

definiendo \[ 2.k=k'  \] con \[  k' \in{Z} \] nos queda que:
\( \displaystyle\frac{n}{3}= k' \)

Y dado que \[ k'\in{Z} \], Queda demostrado que si un numero es divisible por 6, entonces es divisible por 3.

¿Como lo ves?

[manooooh]

Hola

\[ 6|n \Leftrightarrow{}  \exists{k} \in{\mathbb{Z}}  / n= 6 . k \]

luego,
\( n= 6.k \)
\( n= 2.3.k \)

definiendo \[ 2.k=k'  \] con \[  k' \in{Z} \] nos queda que:

Hasta aquí bien.

\( \displaystyle\frac{n}{3}= k' \)

Y dado que \[ k'\in{Z} \], Queda demostrado que si un numero es divisible por 6, entonces es divisible por 3.

¡No! La expresión \( n/3 \) no pertenece a los naturales para todo \( n \), a partir de ahí no puedes sacar conclusiones.

Termina así:

\begin{align*}
n&=3\cdot(2\cdot k)\\
n&=3\cdot k'\\
\iff&3\mid n.
\end{align*}

Saludos

MAL. Gracias Luis

[Luis Fuentes]

Hola

\[ 6|n \Leftrightarrow{}  \exists{k} \in{\mathbb{Z}}  / n= 6 . k \]

luego,
\( n= 6.k \)
\( n= 2.3.k \)

definiendo \[ 2.k=k'  \] con \[  k' \in{Z} \] nos queda que:

Hasta aquí bien.

\( \displaystyle\frac{n}{3}= k' \)

Y dado que \[ k'\in{Z} \], Queda demostrado que si un numero es divisible por 6, entonces es divisible por 3.

¡No! La expresión \( n/3 \) no pertenece a los naturales para todo \( n \), a partir de ahí no puedes sacar conclusiones.

OJO. Lo que hace Chorite SI es correcto. El no parte de cualquier \( n \). Parte de un \( n \) múltiplo de \( 6 \), es decir, parte de esta expresión:

\( n= 6.k \)
\( n= 2.3.k \)

y ahí es cierto que se deduce que \( \dfrac{n}{3}=2k\in \Bbb Z \).

Saludos.

[feriva]

\[ 6|n \Leftrightarrow{}  \exists{k} \in{\mathbb{Z}}  / n= 6 . k \]

luego,
\( n= 6.k \)
\( n= 2.3.k \)

definiendo \[ 2.k=k'  \] con \[  k' \in{Z} \] nos queda que:
\( \displaystyle\frac{n}{3}= k' \)

Y dado que \[ k'\in{Z} \], Queda demostrado que si un numero es divisible por 6, entonces es divisible por 3.

Y lo haría así (no digo que sea mejor forma de hacerlo, es otra manera de decirlo):

\[ 6|n \Leftrightarrow{}  \exists{k} \in{\mathbb{Z}}  / n= 6 . k \]

luego,
como \( 6= 2.3 \)
entonces
\( n= 2.3.k \).

Ahora, dividiendo a ambos lados entre 3

\( \dfrac{n}{3}=2k \)

y como \( k\in\mathbb{Z} \), entonces \( 2k\in\mathbb{Z} \), con lo que \( \dfrac{n}{3}\in\mathbb{Z} \) que implica \( 3|n \).

Saludos.

[manooooh]

Hola

OJO. Lo que hace Chorite SI es correcto. El no parte de cualquier \( n \). Parte de un \( n \) múltiplo de \( 6 \), es decir, parte de esta expresión:

\( n= 6.k \)
\( n= 2.3.k \)

y ahí es cierto que se deduce que \( \dfrac{n}{3}=2k\in \Bbb Z \).

Es cierto. Me chirriaba la parte de "todos los \( n \)", pero ahora que lo dices no estamos considerando un \( n \) genérico.

Igualmente, no me parece apropiado este método de que quede una fracción cuando estamos hablando de números enteros... No pareciera encajar siempre, por lo que no es un método útil para todos los ejercicios.

Saludos