Tengo el siguiente polinomio
\( p(x)=x^5-5x+3 \)
El enunciado completo del problema es :
a)Construir la sucesión de Sturm asociada a \( p \) y deducir que \( p \) tiene exactamente 3 raíces
reales.
b)Responder razonadamente a la pregunta: ¿puede \( p(x) \) ser el polinomio característico
de una matriz real tridiagonal irreducible? En caso afirmativo, dar una descripción de
dicha matriz.
La sucesión de Sturm es:
\( p_{5}(x)=x^5-5x+3 \)
\( p_{4}=5(x^4-1) \)
\( p_{3}=4x-3 \)
\( p_{2}=\displaystyle\frac{1}{4}((5x^3+\displaystyle\frac{15}{4}x^2+\displaystyle\frac{45}{16}x+\displaystyle\frac{135}{64}) \)
\( p_{1}=875 \)
Mis preguntas son las siguientes: ¿Puede ocurrir que al calcular la sucesión de Sturm los polinomios te salgan desordenados tal y como me ha ocurrido a mi? Y si eso es posible, tiene alguna implicación
También he observado que no salen los 6 polinomios que deberían salir, pero eso si que se que es porque entonces hay raíces complejas y la sucesión de sturm unicamente da polinomios con raíces reales, los de raíces complejas se los salta.
El apartado b) no sabría que responder. Mi intuición es que sí porque hemos podido construir una sucesión de sturm (no sé si es la justificación mas acertada) pero tampoco se como podría construir la matriz.
Un saludo y gracias
