[Florruiz]

Encuentre la Longitud de arco  de las curvas generadas por la ecuación paramétrica:

\( x = \frac{1}{2}t^2+t \)

\( y= \frac{1}{2}t^2-t  \)

\( t = 0 \\ a \\ t =1 \)

Chicos en ese caso ¿como le hago?

[Pie]

Ahí sale una integral un poco más complicada. Si no me equivoco queda:

\( \displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt[ ]{2t^2+2}dt \)

Que según el Wolfram da:

\( \displaystyle\frac{\log(1+\sqrt{2})}{\sqrt{2}} + 1\approx{1,6232..} \)

Pero no sé si puedes usar software para resolverlas o tienes que hacerlo por ti mismo, si es lo segundo mejor espera a alguien más..

Saludos.

[electron]

Una posible forma de resolver esa integral es con el cambio trigonométrico \( t=tgu, dt=sec^2udu \):

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt[ ]{2+2t^2}dt=\sqrt[ ]{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}sec^3udu \)

La integral del cubo de la secante se puede hacer de varias maneras:

Integral de la secante al cubo

y el resultado es efectivamente el indicado por Pie.

Saludos

[Pie]

Me he entretenido haciendo (casi) toda la integral desde cero, en principio era por practicar (y por llegar al resultado del Wolfram ) pero ya que estoy lo pongo por aquí por si pudiera servir..

\( \displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt[ ]{2+2t^2} dt \)

Haciendo el cambio propuesto por electron:

\( t =\tan(u) \Rightarrow{dt = \sec^2(u)du}\Rightarrow{} \)

\( \sqrt{2} \displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt{1+\tan^2(u)} \sec^2(u) du  \)

Como \( 1 + \tan^2(u) = \displaystyle\frac{\cos^2(u)}{\cos^2(u)}+{\displaystyle\frac{\sin^2(u)}{\cos^2(u)}} = \displaystyle\frac{1}{\cos^2(u)}=\sec^2(u) \)

Y \( \sec(u) > 0 \) en todo el intervalo \( [0,1] \) se puede hacer: \( \sqrt[ ]{\sec^2(u)} = \sec(u) \) y la integral queda:

\(  \displaystyle\int_{0}^{1} \sec(u)\sec^2(u) du \)

Integrando por partes:

\(  \displaystyle\int_{0}^{1} \sec(u)\sec^2(u)du = \sec(u)\tan(u) -\displaystyle\int_{0}^{1}\sec(u)\tan^2(u) du = \)

\( =\sec(u)\tan(u) - \displaystyle\int_{0}^{1}\sec(u)(\sec^2(u)-1) du =
 \)

\( = \sec(u)\tan(u) - \displaystyle\int_{0}^{1} \sec^3(u) du + \displaystyle\int_{0}^{1} \sec(u) du \)

Sumando \( \int_{0}^{1}\sec^3(u)du \) a ambos lados queda:

\( \displaystyle\int_{0}^{1} 2\sec^3(u) du = \sec(u)\tan(u) + \displaystyle\int_{0}^{1} \sec(u) du \)

Como la integral de \( \sec(u) du  \) es:

\( \ln(\tan(u)+\sec(u)) \)

Spoiler

\( \displaystyle\int \sec(u)du =\displaystyle\int \sec(u)\cdot{\displaystyle\frac{\tan(u)+\sec(u)}{\tan(u)+\sec(u)}}du= \)

\( =\displaystyle\int \displaystyle\frac{\sec(u)\tan(u)+\sec^2(u)}{\tan(u)+\sec(u)}du  \)

Como queda derivada del denominador en el numerador la integral es el logaritmo del denominador:

\[ \int\sec(u) du= \ln(\tan(u)+\sec(u)) \]

[cerrar]

Queda:

\( \displaystyle\int_{0}^{1} 2\sec^3(u) du = \sec(u)\tan(u) + \ln(\tan(u)+\sec(u)) \Rightarrow{} \)

\( \displaystyle\int_{0}^{1} \sec^3(u) du = \displaystyle\frac{1}{2} [\sec(u)\tan(u) + \ln (\tan(u)+\sec(u))] \)

Finalmente deshaciendo el cambio de variable y evaluando:

\( \displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt[ ]{2+2t^2} dt = \left|\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}(\sec[\arctan(t)]t + \ln (t + \sec [\arctan(t)]))\right|_0^1= \)

\( \left|\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\left(t\sqrt{t^2+1}+\ln\left(t+\sqrt{t^2+1}\right)\right)\right|_0^1 = 1 + \displaystyle\frac{\ln(1+\sqrt{2})}{\sqrt{2}}\approx{1,6232..}
 \)

Espero esté todo bien.

Saludos.