[Enrique Rosas]

Sea \( f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) una función definida por \( f(x,y)=x^2-y^2 \). Muestre que \( f \) es clase \( \mathcal{C}^1 \) en una vecindad de \( (0,0) \), pero no existe una función continua \( g \) definida en una vecindad de \( 0 \) tal que \( f(g(y),y)=0 \).

CORRECCIÓN: La función \( f \) es \( f(x,y)=x^2-y \).

[Masacroso]

Sea \( f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) una función definida por \( f(x,y)=x^2-y^2 \). Muestre que \( f \) es clase \( \mathcal{C}^1 \) en una vecindad de \( (0,0) \), pero no existe una función continua \( g \) definida en una vecindad de \( 0 \) tal que \( f(g(y),y)=0 \).

Pues sí que existe tal \( g \), ya que tomando \( g(y):=y \) tienes que \( f(g(y),y)=0 \) para todo \( y\in \mathbb{R} \). ¿Seguro has copiado bien el enunciado del ejercicio? Si cambias la función por \( \tilde f(x,y):=x^2+y^2 \) entonces sí que es cierto el enunciado, ya que \( \tilde f(g(y),y)=0\Leftrightarrow (g(y))^2=-y^2 \), lo cual es sólo posible para \( y=0 \), lo cual no constituye una vecindad del cero.

[Enrique Rosas]

Cierto, la función es \( f(x,y)=x^2-y \), por error le puse el cuadrado a la \( y \).